X ~ N ( 0 ,1 ), / n
或 X ~ N ( , 2 / n )
从正态总体中抽样得到的均值的分布也服从正
态分布, 那么从非正态总体中抽样得到的均值的
分布呢？
.
中心极限定理：
设从均值为 ，方差为（2 有限）的任意
一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分
大时，样本均值 X 的抽样分布近似服从均值
2 1
2 2
样本统计量
x
pˆ
s2
x1 x2
pˆ 1 pˆ 2
s
2 1
s
2 2
.
样本统计量的概念
设 X1,X2,L,Xn 是从某总体X中抽取的容量为 n的一个样本，如果由此样本构造一个函数
T(X1,X2,L,Xn)，不依赖任何未知参数，则称函数
T(X1,X2,L,Xn) 是一个统计量
如：
X =
为 、方差为 2 n 的正态分布。
一个任分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ，
样本均值的抽样
分布逐渐趋于正
态分布
x
X
.
不同总体分布构造均值的抽样分布
.
思考：
+ 当样本量n逐渐增大时，样本均值的抽样分 布到底发生了什么样的变化？
+ 当用样本均值估计总体均值时，平均来说 没有偏差（无偏性），即n逐渐增大时，样 本均值的期望值不发生变化；
1 n
n i 1
Xi
S2
1 n
n i1
(Xi
X)2
.
6.1.2 常用统计量
1 n
X = n i1 X i
V S/X
S2
1 n
n i1
(Xi
X)2
mk
1 n
n i 1
X
k i
vk
1 n
n i1
(Xi
X)k
3
3
n
n
(XiX)3/n
(XiX)22
i1
i1
4ni n1(XiX)4/i n1(XiX)223
样本均值的抽样分布
1 总体参数与样本统计量的对应关系 2 如何理解统计量的抽样分布 3 构造均值的抽样分布 4 样本均值的抽样分布 5 样本均值抽样分布的应用与计算
.
一、总体参数与样本统计量的对应关系
一个总体 两个总体
总体参数 均值 比例 方差
均值之差 比例之差 方差比
符号表示
P
2
1 2
P1 P2
.
二、如何理解统计量的抽样分布
+ 你认为 x 会恰好等于总体均值 吗？
+ 如果又抽取一个样本，它的均值会与第一 个样本均值相等吗？它又会与总体均值相 等吗？
+ 怎样才叫“接近”？如何测量接近的程度？ + 重复抽样得到的统计量是如何分布的？ + 样本统计量的抽样分布是所有来自同一总
体、容量完全相同的样本在某一个统计量 上的取值的概率分布情况
+ 例2b：沿用以上幼儿园孩子身高的例子， 对于容量为100的样本均值抽样分布而言， 我们可以计算出样本均值落在中间90%区间 上的两个端点值
.
.
样本均值的分布与总体分布的比较
总体分布
.3
.2
.1 0
1
234
= 2.5
σ2 =1.25
.3 P ( x ) 抽样分布
.2
.1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
x 2.5
x2 0.625
.
小结
+ 计算总体的均值和标准差 + 计算所有可能的样本均值 + 构造样本均值的抽样分布 + 计算抽样分布的均值、方差 + 将样本和总体的均值、方差进行比较，发
+ 当n越来越大时， 样本均值的标准差变小， 即样本均值分布变窄，其分散程度越来越 小，意味着样本均值对总体均值的估计越 来越准确
.
五、样本均值抽样分布的应用与计算 + 计算样本均值的概率 + 根据样本均值的概率计算其所在的区间
.
例1.设从一个均值为10，标准差为0.6的总体 中随机选取容量为36的样本。假设该总体 不是很偏，要求：
P X 9 .9 1 P X 9 .9
P9.9X10.1P9.90 .110X0 .11010.0 1. 110
211
.
+ 例2a:某国际幼儿园孩子身高近似服从正态 分布，均值为39英寸，标准差为2英寸，抽 取由25个孩子构成的随机样本，那么样本 均值落在38.5到40.0之间的概率是多少？
现了什么吗？
.
四、样本均值的抽样分布——任意 总体
+ 对于任意分布总体，当总体期望值为 ， 方差为 2 ，则样本均值的期望值为 ， 方差为 2 n
用公式表示为：
E(x) x
2 x
2
n
x
n
2
.
样本均值的抽样分布——正态总体
当总体分布为正态分布 N ,2时，可以
得到下面的结果：X 的抽样分布仍为正态分布， 数学期望为 ，方差为 2 n ，则
（1）计算样本均值小于9.9的近似概率 （2）计算样本均值超过9.9的近似概率 （3）计算样本均值在总体均值附近0.1范围内
的近似概率
.
根据中心极限定理，不论总体分布是什么形 状，当n充分大时，样本均值的分布近似服从 正态分布 X~N(1,00.62/3)6
P X 9 .9 P X 0 .1 1 0 9 .9 0 .1 1 0 1 1 1
.
样本均值的抽样分布
.
三、构造均值的抽样分布
【例】设一个总体，含有4个元素（个体）， 即总体单位数N=4。4 个个体分别为X1=1、 X2=2、X3=3 、X4=4 。 总体的均值、方差及分布如下
N 1i n1Xi 12 434=2.5
2N 1i n1(Xi )2
12.5222.5232.5242.52
=
1.25
4
.
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重 复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本 的结果如下表
.
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本 均值的抽样分布
xM 1i n 1xi1 .0 1 .5 1 6 L 4 .02 .5
x 2 M 1 i n 1 ( x i x ) 2 ( 1 .0 2 .5 ) 2 L 1 6 ( 4 .0 2 .5 ) 2 0 .6 2 5 n 2