海南中学2010——2011学年第一学期期中考试高一数学试题（必修1）（考试时间：2010年11月；总分：100；总时量：120分钟）第一卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，总分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．） 1．设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则()U C A B =A ．{2,3}B ．{1,5}C ．{4,5}D ．{1,4,5}2．下列几个图形中，可以表示函数关系)(x f y =的那一个图是A ．B ．C ．D ．3．下列各组函数中，表示同一函数的是A ．1y =与0y x =B ．1y x =-与y = C ．33,x y x y == D ．2)(|,|x y x y ==4．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x，则1[()]4f f 的值为A ．91 B ．9 C ．-9 D ．91-5．设a >0，a ≠1，x ∈R ，下列结论错误的．．．是 A ．log 10a = B ．2log 2log a a x x = C ．log x a a x =D ．log 1a a =6．若函数f(x)=x 3+x 2-2x -2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程x 3+x 2-2x -2=0的一个近似根（精确到0.1）为x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 1.5f(x) -2 -0.984 -0.260 -0.052 0.165 0.625A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.57．设0.5log 0.8a =， 1.1log 0.8b =，0.81.1c =，则a 、b 、c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a c b <<8．已知f (x )的定义域为()+∞,0，若对任意x 1＞0，x 2＞0，均有f (x 1+x 2)=f (x 1)+ f (x 2)，且f (8)=3，则f (2)=A ．1B ．21C ．43D ．41 9．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ；则当0<x 时，f(x)的解析式为A ．1+-xB ．1--xC ．1-xD ．1+x10则A ．by a x=+ B ．y a bx =+ C ．log b y a x =+ D ．x y a b =⋅11．设函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，若122010()8f x x x = ，则2212()()f x f x ++ 22010()f x +的值等于A ．4B ．8C ．16D ．2log 8a12．已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．∞[2，+）第二卷（非选择题，共64分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．函数()1f x x =-的定义域为 ． 14．若幂函数f(x)的图像过点(2,8)，则f(3)= ．15．函数f(x)= a x+1-a 在区间[0,2]上的函数值恒大于0，则a 的取值范围是 ．16．老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四个学生各给出这个函数的一个性质．甲：对于x ∈R ，都有f(1+x)=f(1-x)； 乙：f(x)在(-∝,0]上是减函数； 丙：f(x)在(0,+∝)上是增函数； 丁：f(0)不是函数的最小值．现已知其中恰有三个说得正确，则这个函数可能是 （只需写出一个这样的函数即可）．三、解答题（本大题共6小题，共48分） 17．（本题满分6分）化简、求值．(Ⅰ(Ⅱ)21log 3ln2-++．18．（本题满分8分）已知关于x 不等式组⎩⎨⎧>-<-221a x a x 的解集为A ，集合()3,1=B ，若B A ⊆，求a 的取值范围．19．（本题满分8分）探究函数4(),(0,)f x x x x=+∈+∝的最小值，并确定相应的(Ⅰ)若124x x =，则1()f x 2()f x （请填写“>, =, <”号）；若函数xx x f 4)(+=,(x>0)在区间(0,2)上递减，则在 上递增； (Ⅱ)当x= 时，x x x f 4)(+=,(x>0)的最小值为 ；(Ⅲ)试用定义证明xx x f 4)(+=,(x>0)在区间(0,2)上递减．20．（本题满分8分）已知函数⎩⎨⎧∈+-∈=]7,4(1)5(]4,1[log )(22x x x xx f ．(Ⅰ)在给定的直角坐标系内画出)(x f 的大致图象； (Ⅱ)求函数g(x)=f(x)-32的零点．21．（本题满分8分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a （a >2），BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，绿地面积为y ．(Ⅰ)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (Ⅱ)当AE 为何值时，绿地面积最大？22．（本题满分10分）已知函数4()log (41)2x xf x =+-．(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(Ⅱ)若方程()0f x m -=有解，求m 的取值范围；(Ⅲ)若函数4()log [123(1)]x x x x g x n n a =++++-- ，2,n n N ≥∈，对任意(,1]x ∈-∝都有意义，求a 的取值范围．D AEFC H海南中学2010——2011学年第一学期期中考试高一数学（评分标准）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C A B C B C D D C B二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．函数()1f x x =-的定义域为 (,1)(1,4-∝ ． 14．若幂函数f(x)的图像过点(2,8)，则f(3)= 27 ．15．函数f(x)= a x+1-a 在区间[0,2]上的函数值恒大于0，则a 的取值范围是-1<a <1 ．16．老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四个学生各给出这个函数的一个性质．甲：对于x ∈R ，都有f(1+x)=f(1-x)； 乙：f(x)在(-∝,0]上是减函数； 丙：f(x)在(0,+∝)上是增函数； 丁：f(0)不是函数的最小值．现已知其中恰有三个说得正确，则这个函数可能是 y=|x-1|或y=a (x-1)2+b,a >0 ．（只需写出一个这样的函数即可）三、解答题（本大题共6小题，共48分） 17．（本题满分6分）化简、求值．(Ⅰ(Ⅱ)21log 3ln2-++．17．解：(Ⅰ111111222222(())a a a a =⋅==（3分）(Ⅱ)221log 3log 311132222222-+=+⨯=+=．（6分）18．（本题满分8分）已知关于x 不等式组⎩⎨⎧>-<-221a x a x 的解集为A ，集合()3,1=B ，若B A ⊆，求a 的取值范围．18．解：（１）由不等式组⎩⎨⎧>-<-221a x a x 得⎪⎩⎪⎨⎧+>+<221a x a x ，（2分）当221+≤+a a ，即0≤a 时φ=A ，满足B A ⊆；（4分） 当221+>+a a ，即0>a 时⎪⎭⎫⎝⎛++=1,22a a A ，B A ⊆，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+12231a a ，解得20≤≤a ，所以20≤<a ．（7分）综述上面情况，a 的取值范围是2≤a ． ………… 8分（注：如果漏空集未考虑，扣2分）19．（本题满分8分）探究函数4(),(0,)f x x x x=+∈+∝的最小值，并确定相应的(Ⅰ)若124x x =，则1()f x 2()f x （请填写“>, =, <”号）；若函数xx x f 4)(+=,(x>0)在区间(0,2)上递减，则在 上递增； (Ⅱ)当x= 时，x x x f 4)(+=,(x>0)的最小值为 ；(Ⅲ)试用定义证明xx x f 4)(+=,(x>0)在区间(0,2)上递减．19、解：(Ⅰ) =，(2,+∞) (左端点可以闭) 2分(Ⅱ) x=2时，y min =4 4分(Ⅲ)设0<x 1<x 2<2，则f (x 1)- f (x 2)= )44()()4()4(21212211x x x x x x x x -+-=+-+=211212121212444()()()x x x x x x x x x x x x ---+=- 6分∵0＜x 1＜x 2＜2 ∴x 1-x 2＜0,0＜x 1x 2＜4 ∴x 1x 2－4＜0∴f (x 1)－f (x 2)>0 ∴f (x 1)＞ f (x 2)∴f (x)在区间(0,2)上递减 8分20．（本题满分8分）已知函数⎩⎨⎧∈+-∈=]7,4(1)5(]4,1[log )(22x x x xx f ． (Ⅰ)在给定的直角坐标系内画出)(x f 的图象； (Ⅱ)求函数g(x)=f(x)-32的零点． 20．解：(Ⅰ)图像如右上图所示，此题需突出(1,0), (4,2), (5,1), (7,5)四个点，并保留作图痕迹；（4分）(Ⅱ)当1≤x ≤4时，23log 2x =，得x =5分）； 当4<x ≤7时，23(5)12x -+=，得52x =±（7分）；故函数g(x)=f(x)-32的零点为22+-（8分）．21．（本题满分8分）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a （a >2），BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，绿地面积为y ． (Ⅰ)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (Ⅱ)当AE 为何值时，绿地面积最大？21．解：（1）S ΔAEH ＝S ΔCFG ＝21x 2，S ΔBEF ＝S ΔDGH ＝21(a －x )(2－x )． ……1分∴y ＝S ABCD －2S ΔAEH －2S ΔBEF ＝2a －x 2－(a －x )(2－x )＝－2x 2＋(a ＋2)x ． ……3分由00202x a x x a >⎧⎪->⎪⎨-≥⎪⎪>⎩ ，得02x <≤∴y ＝－2x 2＋(a ＋2)x ，其定义域为{}|02x x <≤． ……4分（2）当242<+a ，即a <6时，则x ＝42+a 时，y 取最大值8)2(2+a ． ……6分当42+a ≥2，即a ≥6时，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x ，在(0，2]上是增函数，则x ＝2时，y 取最大值2a －4 ． ……8分综上所述：当a <6时，AE ＝42+a 时，绿地面积取最大值8)2(2+a ；当a ≥6时，AE ＝2时，绿地面积取最大值2a －4．22．（本题满分10分）已知函数4()log (41)2x xf x =+-．(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(Ⅱ)若方程()0f x m -=有解，求m 的取值范围；DAFC H(Ⅲ)若函数4()log [123(1)]x x x x g x n n a =++++-- ，2,n n N ≥∈，对任意(,1]x ∈-∝都有意义，求a 的取值范围．22．解：(Ⅰ)f(x)是偶函数，（1分）∵44414()log (41)log log (41)()2422x xx x x x xf x f x -+-=++=+=+-=；（3分）(Ⅱ)∵44441()log (41)log (41)log 2log (2)22x x x x x x m f x ==+-=+-=+，（4分）又212222x x +=+≥，（5分）∴12m ≥ ；故要使方程()0f x m -=有解，m 的取值范围为12m ≥．（6分） (Ⅲ)由123(1)0x x x x n n a ++++--> 知121()()()x x xn a n n n-<+++ 恒成立（7分）又∵(),1,2,,1x i iy i n n ==- 都是减函数∴121()()()x x xn y n n n-=+++ 也是减函数（8分） ∴y 在(,1]-∝上的最小值为1111min 12311()()()()2n n y a n n n n --=++++=> ∴a 的取值范围是1(,)2n --∝．（10分）。