17.（12
分）在数列an 中，已知 a1
1, 4
an1 an
1 4
,
bn
2
3log 1
4
an
n N
．
（1）求数列an ，bn 的通项公式；
（2）设数列cn 满足 cn an bn ，求cn 的前 n 项和 Sn .
18.（12 分）已知函数
f
x
cosx
asinx
cosx
cos
2
2
x
，且
f
x1, 2 ．………(10
分)
则当 x
2 3
时， f (x)min
1 ，当 x
3
时， f
( x) max
2 ．…（12 分）
19．（1）证明：取 AB 中点 O，连接 EO，DO．因为 EB=EA，所以 EO⊥AB．因
为四边形 ABCD 为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，所以四边形
2k 1 2k2
k 1 k2
.…..(9
分)
所以，直线
PQ
的方程为
y
2k
k 1 k2
x 1 2k 2
，整理得 yk 2 x 3 k y 0 .
于是，直线 PQ 恒过定点 E 3, 0 ；……(10 分)
当 k 1时，直线 PQ 的方程为 x 3 ，也过点 E 3, 0 .………..(11 分) 综上所述，直线 PQ 恒过定点 E 3, 0 .………..(12 分)
16．设 a, b, c 分别为ΔABC 的内角 A, B, C 的对边，已知 c2 3(a2 b2 ) ，且 tan C 3 ，则角 B
的余弦值为
.
三、解答题（共 70 分. 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题， 考生根据要求作答）
（一） 必考题（共 60 分）
1 2
，O
为坐标原点，且
OM
ON
0
，则 ,
的值分别是（
）
A． ,
36
B． , 3
C． 4
4
D．
3
D．1, 3
2017 级理科数学试题 第 1页 （共 4 页）
8．某程序框图如图所示，其中 g (x)
1 x2
x
，若输出的 S
2019 ， 2020
则判断框内应填入的条件为（ ）
A． n 2020?
间为（ ）
A． 0,
B． , 0
C． 2,
D． , 2
11．如图，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 2 的正方形， PA 平面 ABCD ，且 PA 4 ， M 是 PB 上的一个动点，过点 M 作平面 ∥平 面 PAD ，截棱锥所得图形面积为 y ，若平面 与平面 PAD 之间的距 离为 x ，则函数 y f (x) 的图象是（ ）
F 满足
EF
1
时，有 EC∥平面
FBD．……..(12 分)
EA 3
20 解：（Ⅰ）由题意可知：动点 M 到定点 F 1, 0 的距离等于 M 到定直线 x 1 的距离.根据抛
物线的定义可知，点 M 的轨迹 C 是抛物线.∵ p 2 ，∴抛物线方程为： y2 4x ………..(4 分)
（Ⅱ）设
在极坐标系中，曲线 C1 的极坐标方程为 4 cos ，曲线 C2 的极坐标方程为 4 sin ， 以极点 O 为坐标原点，极轴为 x 的正半轴建立平面直角坐标系 xOy .
（1）求 C1 和 C2 的参数方程；
（2）已知射线 l1
:
(0
)
2
，将 l1 逆时针旋转
6
得到 l2
:
6
，且 l1 与 C1 交于 O, P
A,
B
两点坐标分别为
x1,
y1
,
x2 ,
y2
，则点
P
的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
由题意可设直线
l1
的方程为
y
k
x
1 k
0
.由
y
y2 4x
k x 1
，得
k 2x2 2k 2 4 x k 2 0 .………..(6 分)
2k 2 4 4k 4 16k 2 16 0 .因为直线 l1 与曲线 C 于 A, B 两点，所以
南充高中高 2017 级高三上期第四次月考
2017 级理科数学试题 第 4页 （共 4 页）
数学试题（理科）参考答案
1．A2．B3．D4.D5．D6．B7．A8．A9．B10．A11．D12．C
13．4
14
15．4
16
17．（12
分）（1）∵
an1 an
1 4
, a1
1 4
,
∴数列
an
是首项为
1 4
2017 级理科数学试题 第 5页 （共 4 页）
则 f x
3sin2x
cos 2x
2sin
2x
6
．………(5
分)
所以函数 y f x 的最小正周期 T ；…………..(6 分)
2
x
5 24
,
2 3
， 2 x
6
4
,
7 6
，……..(8
分)
则
sin
2x
6
1 2
,1
，
两点， l2 与 C2 交于 O,Q 两点，求 OP OQ 取得最大值时点 P 的极坐标.
23．【选修 4—5：不等式选讲】（10 分）
已知函数 f (x) 2x 1 x 4
（1）解不等式 f (x) 6 ；
（2）若不等式 f ( x) x 4 a2 8a 有解，求实数 a 的取值范围.
x1
x2
2
4 k2
,
y1
y2
k
x1
x2
2
4 k
.所以点
P
的坐标为 1
2 k2
,
2 k
.………..(7
分)
由题知，直线
l2
的斜率为
1 k
，同理可得点
Q
的坐标为
1 2k 2, 2k
. ………..(8 分)
当k
1 时，有 1
2 k2
1 2k 2 ，此时直线 PQ 的斜率 kPQ
1
2
k 2 k2
分)
18．（12
分）解： 1
f
x
cosx
asinx
cosx
cos
2
2
x
asinxcosx cos 2x sin2x 1 asin 2x cos 2x ．…………(1 分) 2
f
3
f
0 ，
1 2
a sin( 2 3
) cos(
2 3
)
3 a 1 1, a 2 42
3 ．..(3 分)
C． z z
D． z z
4．已知样本数据 x1, x2 ,..., xn 的平均数是 5，则新的样本数据 2x1 5, 2x2 5,..., 2xn 5 的平均数
为（ ）
A．5
B．7
C．10
D．15
5．已知点 P 是圆 C : x 3 cos 2 y sin 2 1 上任意一点，则点 P 到直线 x y 1距离
为θ，所以 sin
cosEC，OD＞
EC OD
3
，即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为
EC OD 3
3 ..(8 分) 3
（3）解：存在点
F，且
EF EA
1
时，有
3
EC∥平面
FBD．证明如下：由 EF
1
EA
3
1 ，0， 3
1 3
，
F
1 3
，0，2 3
，所以
FB
4 3
，0，
2 3
．设平面
FBD
的法向量为
v
=（a，b，c），则有
v
v
BD FB
0 0
所以
a b 0 4a2c0 33
取
a=1，得
v
=（1，1，2）．因为
EC
v
=（1，1，﹣1）•（1，1，2）=0，且
2017 级理科数学试题 第 6页 （共 4 页）
EC⊄
平面 FBD，所以 EC∥平面 FBD．即点
OBCD 为正方形，所以 AB⊥OD 因为 EO∩OD=O 所以 AB⊥平面 EOD
因为 ED⊂平面 EOD 所以 AB⊥ED．……(4 分)
（2）解：因为平面 ABE⊥平面 ABCD，且 EO⊥AB，平面 ABE∩平面 ABCD=AB 所以 EO⊥平
面 ABCD，因为 OD⊂平面 ABCD，所以 EO⊥OD．由 OB，OD，OE 两两垂直，建立如图所示
B． n 2020 ?
C． n 2020?
D． n 2020?
9．已知平面向量 OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且 OA OB 0 ，
若
OC
xOA
yOB
（
x,
y
R
），则
x
y
的最大值为（
）
A．1
B． 2
C． 3
D．2
10．若曲线 f x ax 1 ex2 在点 2, f 2 处的切线过点 3,3 ，则函数 f x 的单调递增区
（2）求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值；
（3）线段 EA 上是否存在点 F ，使 EC / / 平面 FBD ? EF
若存在，求出 ；若不存在，说明理由．