第一章生活中的轴对称一．轴对称现象1.轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.两个图形成轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴。

[例]：下列各图形哪些是轴对称图形，哪些是成轴对称？[跟踪训练]1：（1）长方形是轴对称轴图形，它的对称轴有________条（2）正方形是轴对称图形吗？答：_____，它共有______条对称轴。

（3）圆是轴对称图形，它的对称轴有__________条。

（4）轴对称是指____个图形的位置关系；轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形。

二．简章的轴对称图形1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角是轴对称图形，角平分线是它的对称轴。

[注]：角平分线的画法。

OC是∠AOB的角平分线，D是OC上任意一点，则DM=DN[跟踪训练]2：（1）如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC,BC=10,BD=6,则D点到AB的距离是_______（2）如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC,DE⊥AB,若∠BAD=30，则∠B=_____,DE=____.(3)如图，在△ABC中，AB<AC,AD为△ABC的角平分线，P为AD上任意一点，求证：AC-AB>PC-PB.[提示]：在AC上截出一点E，使AE=AB.（4）如图，在△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,AB=10,AC=8,△ABC的面积为27，则DE的长为多少？2.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

线段是轴对称图形，对称轴是它的中垂线和这条线段所在的直线。

[例]：线段AB，l垂直平分线段AB，C是l上任意一点则AC=BC[跟踪训练]3：（1）如图，∠ABC=700,∠A=500,AB的垂直平分线交AC于D, 则∠DBC=_________(2)如图，△ABC中，DE垂直平分AC，AE=3,△ABD的周长为13，那么△ABC的周长为______。

(3)如图，公路l同帝有两工厂A.B，现要求在公路上建一仓库。

①若要使仓库到A,B两工厂的距离相等，仓库应建在何处？②若要使仓库到A,B两工厂的距离之和最短，仓库应建在何处？3.等腰三角形是轴对称图形。

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

等腰三角形的两个底角相等（等边对等角，等角对等边）。

[跟踪训练]4：（1）已知等腰三角形一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于______。

（2）等腰三角形的一个内角为1500，则它的底角为__________。

等腰三角形的一个内角为500，则它的底角为___________。

（3）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=360,BD 平分∠ABC,求∠1的度数。

4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。

等边三角形除等腰三角形的性质外，它的边都相等，三内角都相等。

[跟踪训练]5：（1）等腰三角形有______条对称轴；等边三角形有____条对称轴；矩形有____条对称轴；正方形有_____条对称轴；圆有_____条对称轴。

（2）如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，那么△ADF是等腰三角形吗？为什么？5.直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

如图：在Rt△ABC中，∠BAC=300,则BC=21AB.（可用右图进行证明：右图是两个全等的直角三角形，其中∠BAC=300，∠ACB=900。

）三．探索轴对称的性质1.轴对称的性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等图形。

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂平分。

（3）成轴对称图形的两个图形的对应线段相等，对应角相等。

2.轴对称图形的性质（1）轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分。

（2）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。

[跟踪训练]6：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E点在AD上，利用轴对称的性质说明BE=CE. 四．镜面对称：镜中的物体与本物的左右位置和顺序与实际情况恰恰相反。

如右图所示。

[跟踪训练]7：画出下面各图的镜面对称图形。

[跟踪训练]8：现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑。

如图（1）（2）所示。

观察图（1），（2）中涂黑部分构成的图案。

它们具有如下特征：①都是轴对称图形，②涂黑部分都是三个小正三角形。

请在图（3），（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征。

[跟踪训练]9：如图，在△ABC中，BC 边的垂直平分线DE交BC于D，交AC 于E，BE=5cm，△BCE的周长是18cm，求BC的长。

第二章勾股定理一．探索勾股定理1.[探索]：(1)观察上图（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形I中含有_______个小方格，即I的面积是________个单位面积。

正方形II中含有______个小方格，即II的面积是________个单位面积。

正方形III中含有______个小方格，即III的面积是________个单位面积。

（2）[思考]：根据上面的信息，我们能得到I、II、III图形面积有怎样的关系？（3）仔细观察上面的图形，三个图形分别是什么图形？即图I、II、III的面积可用字母ɑ,b,c怎样表示？（4）根据（2）（3）中的信息，我们能得到关于ɑ,b,c怎样的等量关系？（5）观察上图中由ɑ,b,c为三边的三角形是什么三角形？2.[教师总结]：勾股定理如果直角三角形两直角边分别为ɑ,b,斜边为c，那么ɑ2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

[跟踪训练]1：求出下列直角三角形中未知边的长度[跟踪训练]2：探索大正方形的面积的表示方法，从而验证一个定理。

如图所求：（1）把右图看成一个大正方形，则大正方形的面积可用__________=___________,又可以把大正方形的面积看成由四个直角三角形和一个内部正方形组成，则面积可表示为____________________。

（2）则由（1）可验证出一个什么定理？____________________________。

二．勾股数1.如果三角形的三边长ɑ,b,c满足ɑ2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

满足ɑ2+b2=c2的三个整数ɑ,b,c，称为勾股数。

[跟踪训练]3：判别下列各组数是否为直角三角形。

（1）5，12，13；（2）7，24，25；（3）8，15，17.（4）9，12，15三．勾股定理的应用举例有一个棱柱，它的底面是边长为2.5厘米的正方形，侧面都是长为12厘米的长方形。

在棱柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路是多少？[分析]：将棱柱沿侧棱剪开，展成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？第二章[勾股定理练习题]1.如图1所求，在△ABC中，∠C=900。

（1）若b=12,ɑ=16，则c=___________；（2）若ɑ=40，c=41，则b=___________;（3）若ɑ:b=12:5,c=39,则ɑ=______，b=_______。

2.如图2，一根旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前有多高？3.一个零件如图3所示，已知AC=3cm，AB=4cm,BD=12cm,∠A=∠CBD=900,求CD的长。

4.如图4，在四边形ABCD中，∠BAD=900,∠CBD=900,且AD=4,AB=3,BC=12,求正方形DCEF的面积。

5.一艘船从小岛出发，向正南方向航行了80千米，然后向正西航行到离小岛170千米的地方，这艘船向正西方向航行了多远？6．矩形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,如图5方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm。

6．如图6，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方体表面到达C处，则绳子最短是________。

7.一架梯子斜靠在墙上，已知梯子长2.5米，且测得墙与梯子底端相距0.7米，那么此时墙高为___________米。

8.在Rt△ABC的斜边AB上另作Rt△ABD，并以AB为斜边，若BC=1,AC=b,AD=2,则BD2=______9.如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=900,AC=12,BC=5,AM=AC,BN=BC,则MN=_________ 10.一辆装满贷物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图8的某工厂，则这辆车能否通过厂门，并说明理由。

11．在直线l上依次摆放着七个正方形，如图9所求，已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=__________. 12.如图10,四边形ABCD中,AC⊥BD,请你判断AB2+CD2与AD2+BC2之间的关系,并说明理由.第三章实数 一．无理数1.有理数总可以用有限小数或无限循球小数表示，反过来，任何有限小数或无限循球小数也都是有理数（有理数是由整数和分数组成的）。

…………这样的数既不是有限小数也不是无限循球小数，但它们也是确实存在的数，那么我们把这样的无限不循球．．．小数叫做无理数。

[跟踪训练]1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，-34……（相邻两个1之间0的个数逐次加2）。

[跟踪训练]2：在-71，0.304，2π……（两个1之间依次多1个2），1312，-32中， 正数集合{……} 负数集合{……} 有理数集合{……} 无理数集合{……} 二．平方根1.概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。

特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0=0。

[跟踪训练]3：求下列各数的算术平方根：（1）900（2）1（3）6449（4）14 [分析]：因为302=900，所以900的算术平方根是30，即900=30。

[跟踪训练]4：（1）一个数的算术平方根是4，这个数是____________。

（2）求下列各式的值：144=81.0=(56)2=256=(3)填写下表：(4)一个自然数的算术平方根为a ，则比这个自然数小1的数的算术平方根是什么？2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根。