浙江省2002年4月高等教育自学考试
高等几何试题
课程代码：10027
一、填空题(每空2分，共20分)
1._______，称为仿射不变性和仿射不变量.
2.共线三点的简比是_______不变量.
3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_______.
4.点坐标为(1，0，0)的方程是_______.
5.u u 1222- =0代表点_______的方程.
6.已知共线四点A 、B 、C 、D 的交比(AB ，CD)=2，则(CA ，BD)=_______.
7.对合由_______唯一决定.
8.二阶曲线就是_______的全体.
9.证明公理体系的和谐性常用_______法.
10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_______直线.
二、计算题(每小题6分，共30分)
1.求直线x -2y+3=0上无穷远点的坐标。
2.求仿射变换
'=-+'=++⎧⎨⎩
x x y y x y 71424 的不变点.
3.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比.
4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束
x 1-λx 3=0与x 2-'λx 3=0 ('λ=λλ-+12
)所决定的. 5.求二次曲线2x 2+xy -3y 2+x -y=0的渐近线.
三、作图题(每小题6分，共18分)
1.给定点A 、B ，作出点C ，使(ABC)=4.
作法：
2.过定点P ，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点.
作法：
3.如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线
作法：
四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分)
1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,证明A1=BC×QR,B1=CA×RP, C1=AB×PQ三点共线.
证明：
2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l′，证明l⊥l′.
证明：
3.将△ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图甲)，求证它的三双对顶连线共点。
证明(按以下程序作业)：
第一步：将△ABC仿射变换为等边△A′B′C′(图乙)，为什么这样变换存在?
第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。
第三步：证明：变换后的相应命题成立。
这样原来命题也就成立，为什么?
浙江省2002年4月自考高等几何试题答案
课程代码：10027
一、填空题(每空2分，共20分)
1. 经过一切透视仿射不改变的性质和数量
2. 仿射
3. 仿射变换
4. u 1=0
5. (1，1，0)、(1，-1，0)
6. -1
7. 两对不同的对应元素
8. 两个射影线束对应直线交点
9. 模型
10. 分散
二、计算题(每小题6分，共30分)
1.解：化为齐次式
x 1-2x 2+3x 3=0,以x 3=0代入
得 x 1-2x 2=0， x 1=2x 2 或 x 2=
12
1x ∴ 无穷远点坐标为(2，1，0)
2.解：由 x x y y x y =-+=++⎧⎨⎩71424 得 610440x y x y -+=++=⎧⎨⎩
解此方程，得不变点为(,)--1
22
3.解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)为基底，
则(2，1，-1)+μ1(1,-1,1)相当于(1，0，0)
∴ 211010
111+=-=-+μμμ 得 μ1=1
又 (2，1，-1)+μ2(1,-1,1)相当于(1，5，-5) ∴211515
222+=-=-+-μμμ 得 μ2=-32
所求交比为
μμ1223=-
4.解：∵'λ=λλ-+12
(1)
将x 1-λx 3=0, x 2-'λx 3=0中的，λ，
'λ代入(1)
得 x x x x x x x x x x 2
31
313
1
313
1
2
2=-+=-+
得 x 2(x 1+2x 3)-x 3(x 1-x 3)=0，
化简，即得所求的二阶曲线方程
x x x x x x x 1223133220+-+=
5.解：∵ 系数行列式 2121
2
1
231
2121
20
---
∴ A 31=5
4, A 32=54, A 33=-25
4,
因此中心坐标 ξ=-15,η=-1
5 .
由 2X 2+XY -3Y 2=0，
即 (2X+3Y)(X -Y)=0.
得 2X+3Y=0 X -Y=0. (1)
将 X=x+15 Y=y+1
5 代入(1)
得 2x+3y+1=0 x -y=0
即为所求的渐近线方程
三、作图题(每小题6分，共18分)
1.作法：
∵ (ABC)=AC
BC =4
1，
∴ AC BC BC -=3
1,
即 AB
BC =3 .
在AB 延长线上，作点C ，使BC=1
3AB
2.作法：(利用代沙格定理)：
任取线束S ，设束中两条直线交a 于A ，C ，
交b于A′，C′；
连直线PC，PC′分别交线束S的第三条直线于B，B′；
直线BA和B′A′的交点Q与点P的连线，即为所求的直线.
注：1°文字，
2°也可利用巴卜斯定理；或完全四点形调和性质作图.
3.作法：过P点任引两直线，使与Γ分别交于A、B及C、D，
设Q=AC×BD，R=AD×BC，那么
直线QR即为所求的极线.
四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分)
1.证明：在△ABC及△PQR中，
∵AP、BQ、CR共点S.
∴对应边的交点
C1=AB×PQ，B1=CA×RP, A1=BC×RQ
三点共线
2.证明：已知F为焦点，l，l′为由F所引的二共轭直线，
按其点定义，两迷向直线FI，FJ是二次曲线的切线.
从而(FI，FJ，l，l′)=-1，
所以l⊥l′
3.第一步，∵任意两三角形，总存在仿射变换，使其中一
个三角形仿射变换为另一三角形.
第二步：正三角形的每边三等份，每一分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形，求证它的三双对顶的连线共点.
第三步：由A′作B′C′边上的高线A′S，∵△A′B′C′是正三角形，由对称性可知K′，N′在A′S上.同理J′、M′与P′L′也分别在过点B′、C′所作的高线上，因为△A′B′C′的三高线共点，所以六边形J′K′L′M′N′P′的三对顶点的连线共点. 正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射变换构成变换群，且同素性和接合关系以及三角形的重心是仿射不变性，所以原命题也成立.。