高等几何试题
一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。
2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。
3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。
4、一点123(,,)x x x x =在一直线[]123,,u u u u =上的充要条件是
（ ）。
5、 已知1234(,)3p p p p =,则4321(,)p p p p =（ ），1324(,)p p p p =（ ）。
6、 如果四直线1234,,,p p p p 满足1234(,)1p p p p =-，则称线偶34,p p 和12,p p
（ ）。
7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是
（ ）。
8、 不在二阶曲线上的两个点P 123()p p p ，Q 123()q q q 关于二阶曲线
0ij i j S a x x ≡=∑成共轭点的充要条件是（ ）。
9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。
二、计算题（每题8分，共56分）
1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：22
221x y a b
+= ,0a b >）
2、 求共点四线11:l y k x =，22:l y k x =，33:l y k x =，44:l y k x =的交比。
3、 求射影变换11
2233x x
x x x x ρρρ⎧'=-⎪⎪
'=⎨⎪
'=⎪⎩
的不变元素。
4、 求二阶曲线22212323624110x x x x x --+=经过点(1,2,1)P 的切线方程。
5、 求双曲线2223240x xy y x y +-+-=的渐近线方程。
6、 求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴和顶点。
7、 求使三点(0,)O ∞，(1,1)E ，(1,1)P -顺次变到点(2,3)O '，(2,5)E '，
(3,7)P '- 的仿射变换。
三、已知(1,2,3)A ，(5,1,2)B -，(11,0,7)C ，(6,1,5)D ，验证它们共线并求
(,)AB CD 的值。
（8分） 四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条
二阶曲线。
（9分）
答案 一、
1、仿射不变量
2、平行直线
3、透视中心
4、1122330u x u x u x ++=
5、3 2
6、调和分离
7、任何四个对应点的交比相等
8、0pq S =
9、这个变换使圆点保持不变 二、
1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为22
221x y a b
+=
经过仿射变换 x x
a y y
b '=⎧⎪⎨
'=⎪⎩
① 其对应图形为圆。
222x y a ''+=
在仿射变换①之下，A A '→，B B '→，O O '→，所以AOB 对应A OB ''，其中A A '≡，根据定理3.6推论2，有
AOB A OB S S ''
=椭圆面积圆面积 所以 2
21122
a a
b a π=椭圆面积 因此所给椭圆的面积为ab π。
2、解：化为齐次方程： 1211:0l x k x -= 2221:0l x k x -=
3231:0l x k x -= 4241:0l x k x -=
取21:0,:0a x b x ==为基线，则有
11223344(),(),(),()l a k b l a k b l a k b l a k b ---- 由定理1.11的推论，得
132412342314()()
(,)()()
k k k k l l l l k k k k -+-+=
-+-+
3、解：由方程
10001000
1μ
μμ
---=-
得 (1)(1)(1)0μμμ+--= 所以 11μ=-， 21μ=（重根） 将1μ=代入（3.4.3）得
1231231
23(11)0000(11)0000(11)0
y y y y y y y y y --++=⎧⎪
+-+=⎨⎪++-=⎩
于是得10y =为不变点列（即y 轴），10y =这条直线上的点都是不变点，
因此这条直线是不变直线。
4、解：将P 点的坐标代入二阶曲线方程中得 0pq S = 所以P 点在二阶曲线上，故切线方程为 0p S =
即 12360011(1,2,1)010*******x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
-⎝⎭
亦即 123127260x x x +-= 为所求切线方程。
5、解：设渐近线的方程为
111122133121222323()0a x a x a x k a x a x a x +++++= 根据（2.9）有 23210k k -++=
解之，得1211,3
k k ==-，所以渐近线方程为
1(32)0x y x y +++--=和1
1(32)03
x y x y ++---=
化简，得所求为2210x y --=和2650x y ++=。
6、解：因为313222224,42
2
0A A --=
==-
=-
代入（4.11），得主轴为 4(222)4(22)0x y x y +-++= 即 2210x y +-=
解方程 222424102210x xy y x x y ⎧++-+=⎨+-=⎩
得顶点之坐标为31(,)88。
7、解：设所求仿射变换为
111213
212223
x a x a y a y a x a y a '=++⎧⎨
'=++⎩ 于是有 132a = 233a =
1112132a a a =++ 2122235a a a =++ 1112133a a a =-+ 2122237a a a -=-+
解此方程组，得
132a =，233a =，1112a =
，121
2
a =-，214a =-，226a = 故所求的仿射变换为
11222463
x x y y x y ⎧'=-+⎪
⎨
⎪'=-++⎩
三、解：因为
123512011
7
-= 且12351206
1
5
-=
所以,,,A B C D 共线。
设 12,C A B D A B λλ=+=+ 由 11125,022(1),7322=+⨯=+⨯-=+⨯ 得 12λ= 同理可得 21λ= 所以 1
2
(,)2AB CD λλ=
= 四、证明：射影平面上建立了射影坐标后，设两个线束的方程分别为：
0αλβ-= （1） 0αλβ'''-= （2）
由于它们是射影对应，所以,λλ'满足：
0a b c d λλλλ''+++= (0)ad bc -≠ （3）
从（1），（2），（3）中消去,λλ'得
()()()()0a b c d ααααββββ''
+++=''
即 0a b c d αααβαβββ''''+++= （1.3）
这里,,,αβαβ''都是关于1,23,x x x 的一次齐次式，所以（1.3）式表示一条二阶曲线。
由于0,0αβ==的交点坐标和0,0αβ''==的交点坐标都满足（1.3）。
所以形成二阶曲线的两个线束的中心也在这条二阶曲线上。