高等数学
05-06-29
例 设一容器内有400L盐溶液，其 中含盐25g，以16L/min的速率向容 器内注入每升含有1.5g盐的盐水溶液， 采用搅拌使容器内各部分具有相同 的浓度，并同时以8L/min的速率从 容器中排出溶液，求 t 时刻容器内溶 液的含盐量。
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05-06-30
例 有一容器内盛盐水100L，含盐 50g，现将每升含盐量2g的盐水以每 分钟5L的速率注入容器并不断地搅 拌使混合液迅速达到均匀，问在任 一时刻 t 容器内的含盐量 x(t) 是多少？
高等数学
05-06-31
例 有一容器内盛盐水100L，含盐 50g，现将清水以每分钟5L的速率注 入容器并不断地搅拌使混合液迅速 达到均匀，同时混合液以相同的速 率流出容器，问在任一时刻 t 容器内 的含盐量 x(t) 是多少？
高等数学
05-06-32
课堂讨论题 一容器内有100L盐溶 液，其中含盐54g，清水以3L/min的 速度流入容器，以相同的速度流出， 采用搅拌以使容器内各部具有相同 的浓度，求在任一时刻 t 及1h后容器 内的含盐量是多少？
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05-06-16
二、药物动力学室模型 （1）快速静脉推注 （2）口服给药 （3）静脉滴注
高等数学
05-06-17
设 x(t) 为体内 t 时刻的药量，D 为一次注射的剂量，k>0 为消除速率 常数，V 为室的理论容积，称为表 观分布容积。 D
dx kx kt x(t ) De dt x ( 0) D
V V0 eΒιβλιοθήκη 0a(1 e
at
)
V V0 e
当 at+ 时
0t
0
a
Vmax V0 e
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05-06-41
V
V0 e
0
a
指数曲线
Gompertz曲线
O
t
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05-06-42
小结：数学模型，数学建模 建立数学模型的方法和步骤 放射性同位素衰变模型 药物动力学室模型（快速静脉推 注，口服给药，静脉滴注） 牛顿冷却模型 溶液连续稀释模型 种群增长模型 肿瘤生长的数学模型
答：船速每小时20千米。
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05-06-05
航行问题建立数学模型的基本步骤： 1.作出简化假设（船速、水速为常数）； 2.用符号表示有关量（x,y 表示船速和水 速）； 3.用物理定律（匀速运动的距离等于速 度乘以时间）列出数学式子（二元一次 方程）； 4.求解得到数学解答（x=20, y=5）； 5.回答原问题（船速每小时20千米）。
V x(t)
k
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05-06-18
血药浓度半衰期（生物半衰期）
C
ln 2 0.693 T k k
C ( t ) C0 e
kt
C0
C0/2 O
T
t
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05-06-19
例 用某药进行静脉注射，其血药浓 度下降是一级速率过程。第一次注 射后，经一小时浓度降至初始浓度 的 2 2 ，问要使血药浓度不低于初 始浓度的一半，问经过多长时间要 进行第二次注射？
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05-06-09
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
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05-06-10
一、放射性同位素衰变模型 二、药物动力学室模型 三、牛顿冷却模型
四、溶液连续稀释模型
五、种群增长模型 六、肿瘤生长的数学模型
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05-06-11
一级反应 若化学反应速率与反应物的浓 度成正比，称为一级反应。
如果在有限生存资源下，能够维持种 群生存的最大数量为 M，此值也称作饱和 种群量。种群未饱和程度可以用 (MN)/M 表示，则种群相对增长速率正比于 (MN)/M，这时描述种群增长的方程为
N 1 dN r (1 ) M N dt N |t 0 N 0
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05-06-01
第六节 几种重要的 微分方程应用模型
高等数学
05-06-02
数学模型(mathematical model) 对于一个现实对象，为了一个 特定的目的，根据其内在规律，作 出必要的简化假设，运用适当的数 学工具，得到的一个数学结构称为 数学模型。
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05-06-03
数学建模(mathematical modeling) 建立数学模型的全过程（包括 表述、求解、解释、检验等），称 为数学建模。
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05-06-06
建立数学模型的方法和步骤：
（1）模型准备 在建模前应对实际问题 的背景有深入的了解，明确所要解决问 题的目的，并收集已有的各种资料和数 据。 （2）模型假设 由于实际问题错综复杂， 涉及面广，必须先将问题理想化，简单 化，即抓住主要因素，暂不考虑次要因 素，这是建模的关键一步。
一级速率过程 在某一变化过程中，一个量的 变化速率与当时的量成正比，称这 种动力学过程为一级速率过程。
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05-06-12
半衰期 在某一变化过程中物质剩余的 量变为初始量的一半时所用的时间， 称为半衰期。
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05-06-13
例 在中东巴勒斯坦地区一个山洞里 发现的古人骨中，同位素14C与12C之 14 比仅为活组织的 6.24% ，已知 C 每 年衰减1/8000，试问此人活在多少年 前？
05-06-35
流行病传播模型
如果感染通过一个团体内成员之 间的接触而传播，感染者不因死亡、 痊愈或隔离而被移除，易感染者最 终将成为感染者，则由此建立的模 型称为无移除的简单模型。
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05-06-36
某种上呼吸道感染的流行
记时刻 t 的易感人数和感染人数分别为 S，I， 并假设一个团体是封闭的，总人数为 N，不妨假 定开始时只有一个感染者，且团体中各成员之间 接触均匀，因而感染者的变化率和易感染者转为 感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的 乘积成正比。根据以上假定，可建立如下数学模 型
dI SI dt S N I
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05-06-37
由实验观察知道，细胞分裂时， 如果没有外界条件的限制，细胞的生 长速率与当时的细胞体积成正比。假 设 t 时刻的细胞体积为V(t)，则
dV V dt
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05-06-38
由实际经验知道，随着肿瘤的 增大，肿瘤细胞的生长速率 随时 间 t 增大而减小，其减小速率与当时 的大小成正比，比例系数为常数 a(a≥0)。于是，得到模型
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05-06-33
单一种群自然增长模型
在一定条件下，种群相对增长速率 与种群大小无关，是一个正常数 r，它 代表种群自然增长的能力，也称为自然 增长率。这时描述种群增长的方程为
1 dN r N dt N |t 0 N 0
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05-06-34
有限资源下单一种群增长模型
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05-06-20
设 xa—胃肠道（吸收部位）的药量 D x — 体内的药量 F Ka Ka— 吸收速率常数 K — 消除速率常数 V F — 所给剂量 D 中可吸收的分 x(t) 数，称为生物利用度(0F1)。
K
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05-06-21
初始条件 dxa K x a a dt xa (0) FD dx K x Kx x(0) 0 a a dt K a FD Kt K at x(t ) (e e ) Ka K
Cmax FD Kt m e V
O
tm
t
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05-06-24
设以恒定速率 k0 作静脉滴注 k0 V x(t) k
dx k 0 kx dt x(0) 0
k0 kt x(t ) (1 e ) k
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05-06-25
k0 Vk
C
k0 kt C (t ) (1 e ) Vk
dV V dt d a dt
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05-06-39
若 a=0，得
V V0 e
若 a>0，得
At
V V0 e
0
a
(1 e
at
)
上式称为高姆帕茨(Gompertz)函数。
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05-06-40
高姆帕茨(Gompertz)函数 当 at0 时
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05-06-22
K a FD K at Kt C (t ) (e e ) V (Ka K )
C
Cmax
AUC

0
FD C (t )dt VK
药物吸收的总量
O t
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05-06-23
Ka 1 ln 达峰时间 t m Ka K K
C Cmax
峰浓度
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05-06-14
室模型 是将整个机体设想成若干个房 室，认为药物在体内的吸收、分布、 代谢、消除的过程在房室之间进行， 并假设药物在房室中的分布是均匀 的。
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05-06-15
一室模型 是将机体看成一个动力学上同 质的单元，它适合于给药后，药物 立即进入血液循环，并能在瞬间分 布全身和达到动态平衡，并以一定 的速率从该室消除的情况。
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05-06-07
（3）模型构成 在所假设的基础上， 分清变量类型，利用适当的数学工 具刻划各变量之间的关系，建立相 应的数学模型。 （4）模型求解 根据建立的数学模 型，给出相应的数学求解方法，如 解方程，画图形，数值计算，利用 计算机技术等。
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05-06-08
（5）模型分析和检验 将所得的结 果与实际情况作分析比较，用已有 数据去验证，判断模型的正确性。 如果由模型分析或计算出来的理论 或数值与实际问题或实际数值较吻 合，则模型成功；如果两者差别很 大，则模型失败，需要重新修改模 型。