圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用
张生
引例 给定圆2
22)()(r b y a x =-+-和点),(00y x P ，证明：
（1）若点P 在圆上，则过点P 的圆的切线方程为2
00))(())((r b y b y a x a x =--+--；
（2）若点P 在圆外，设过点P 所作圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程
为2
00))(())((r b y b y a x a x =--+--。

高考链接
3. (2011江西)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12
）作圆22
+=1x y 的切线，
切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
【答案】22
154
x y += （2013山东）过点(3,1)作圆
22
(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为
（ ）
A ．230x y +-=
B ．230x y --=
C ．430x y --=
D ．430x y +-=
【答案】A
过点)4,3(P 作圆1:2
2
=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，点)0,0)(,(>>b a b a M 在直线AB 上，则b
a 2
1+的最小值为 。

6411+
过椭圆14
92
2=+y x 上点P 作圆2:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，过B A ,的直线l 与x 轴y 轴分别交于点Q P ,两点，则POQ ∆的面积的最小值为 。

3
2
已知椭圆)1(12222>>=+b a b
y a x ，圆2
22:b y x O =+，过椭圆上任一与顶点不重合的点P
引圆O 的两条切线，切点分别为B A ,，直线AB 与x 轴y 轴分别交于点N M ,，则
=+2
222||||OM b ON a 。

22
b
a 探究1 给定椭圆122
22=+b
y a x 和点),(00y x P ，证明：
（1）若点P 在椭圆上，则过点P 椭圆的切线方程为
12020=+b
y
y a x x ； （2）若点P 在椭圆外，设过点P 所作椭圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为
12020=+b
y
y a x x 。

（2012福建）如图,椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点为1F ,
右焦点为2F ,离心率1
2
e =
.过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程.
(Ⅱ)设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相较于点
Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,
求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.
（2009安徽）点
00(,)
P x y 在椭圆
22
22
1(0)x y a b a b +=>>上，
00cos ,sin ,0.2
x a y b π
βββ==<<
直线2l 与直线00
122
:
1x y l x y a b +=垂直，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ.
（I ）证明: 点P 是椭圆22
221x y a b
+=与直线1l 的唯一交点；
（II ）证明:tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列。

（20）本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数
列等基础知识。

考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。

本小题满分13分。

解：（I ）（方法一）由00221x y x y a b +=得22
020
(),b y a x x a y =-代入椭圆22221x y a b +=,
得2222
20024222000
21()(1)0b x b x b x x a a y a y y +-+-=.
将00cos sin x a y b ββ
=⎧⎨=⎩代入上式,得2222cos cos 0,x a x a ββ-⋅+=从而cos .x a β= 因此,方程组22
22
002211
x y a b x y x y a
b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩有唯一解00x x y y =⎧⎨=⎩,即直线1l 与椭圆有唯一交点P.
(方法二)显然P 是椭圆与1l 的交点，若Q 111(cos ,sin ),02a b βββπ≤<是椭圆与1l 的交点，代入1l 的方程
cos sin 1x y a b
ββ
+=，得11cos cos sin sin 1,ββββ+= 即11cos()1,,ββββ-==故P 与Q 重合。

（方法三）在第一象限内，由22221x y a b +=
可得0y y ==
椭圆在点P
处的切线斜率20
020
(),b x k y x a y '===-
切线方程为20
0020
(),b x y x x y a y =--+即00221x x y y a b +=。

因此，1l 就是椭圆在点P 处的切线。

根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线1l 的唯一交点。

探究2
给定抛物线)0(22
>=p py x 和点),(00y x P ，证明：
（1）若点P 在抛物线上，则过点P 椭圆的切线方程为000=--py py x x ；
（2）若点P 在抛物线外，设过点P 所作抛物线的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为000=--py py x x 。

链接高考：（2012年高考（辽宁理））已知P ,Q 为抛物线2
2x y =上两点,点P ,Q 的横坐标分
别为4,-2,过P 、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于A ,则点A 的纵坐标为__________.
（2012年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效．．．．．．．．
) 已知抛物线2:(1)C y x =+与圆2
22
1
:(1)()(0)2
M x y r r -+-=> 有一个公共点A ,且在A 处两曲线的切线为同一直线l . (1)求r ;
2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶
点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为
32
2
.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;
(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为2
4x cy =,由
02
32
2
2
c --=
结合0c >,解得1c =.
所以抛物线C 的方程为2
4x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12
y x '= 设()11,A x y ,()
22,B x y (其中221212,44
x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112
x ,21
2x ,
所以切线PA 的方程为()1
112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=
同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=
因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,
所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++
联立方程002220
4x x y y x y
--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=
由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2
120y y y =
所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,
所以2
2
2
2
0000001921225222y x y y y y ⎛
⎫+-+=++=++ ⎪⎝
⎭
所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92
.
探究3。