第17讲 相似三角形
知识点一：比例线段
关键点拨与对应举例
1. 比例
线段
在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即
a c
b d
=，
那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．
列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. @
2.比例
的基
本性质
(1)基本性质：a c b d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）
(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c d
d ±；（b 、d ≠0）
(3)等比性质：a c b d =＝…＝m
n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔
......a c m
b d n
++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，
常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若
35a b =，则a b b +=85
. 、
3.平行
线分线
段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则
AB DE
BC EF
=
. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，
要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于5
3
.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB ∥CD ，则
OA OB
OD OC
=
. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.
4.黄金分割
点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC
AB ＝=5－12
≈0.618，
那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．
例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．
知识点二 ：相似三角形的性质与判定
》
5.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. 判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
《
中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有
等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三
角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，
AC AB DF DE
=
，则△ABC ∽△DEF. <
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BC
DE DF EF
==
，则△ABC ∽△DEF. F E D C
B A l 5
l 4
l 3l 2
l 1O
D
C
B
A
E
D
C
B
A
F
E
D
C B A
F
E
D
C B
A
F
E
D
C B A
6.相似
三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于
相似比．
例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长
为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF
的面积之比为9：4.
？
(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,
已知S△ADE:S△ABC=1:4，
则AF:AG=1：2.
7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条
线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结
果.。