问题的解(插值公式): 点斜式: P 1 ( x) y0
y1 y0 ( x x0 ) x1 x0
对称式: P 1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)
l0 ( x) x xo x x1 ; l1 ( x) x0 x1 x1 x0
插值基函数
max f ( x ) Pn ( x )
0 x 1
第 1章
插值方法
例题2: 设y=f(x)=x4, 试利用拉格朗日余项定理写出以1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式. 解:拉格朗日插值余项
f ( n1) ( ) n f ( x) Pn ( x) ( x xk ), (n 1)! k 0 ξ [a,b]
第 1章
2.误差的事后估计
插值方法
考察[a,b]内三个节点x0, x1, x2. 对于给定的插值点x,先用x0
与x1进行线性插值求出y=f(x)的近似值 y1 , 然后取x0与x2 进行线性插值求出另一个近似值 y2 , 则由余项定理得
y-y 1 f ' ' (1 ) ( x x0 )( x x1 ) 2
第 1章
§4
插值方法
埃特金算法
拉格朗日公式的缺点：如果要临时增加一个插值节点,则 拉格朗日公式的所有系数都要重算,会造成计算量的浪费． 几个标记：
,即 ① f1 ( xi )表示取x0 , xi 进行线性插值
P 1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)
x xo x x1 1 P ( x ) y y 1 ( e 1) x 1 0 1 x0 x1 x1 x0
y' ( x) e x ;
y' ' ( x) e x
f ' ' ( ) f ( x ) Pn ( x ) ( x x0 )( x x1 ) 2 1 - e ( x 0)( x 1), ξ [0 ,1] 2
第 1章
2.抛物插值
插值方法
问题:求作二次式P2(x), 使满足条件
P 2 ( x0 ) y0 , P 2 ( x1 ) y1 , P 2 ( x2 ) y2
问题的解(插值公式):
P 2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
( x x1 )(x x2 ) l0 ( x ) ; ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x x0 )(x x2 ) l1 ( x) ; ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x x0 )(x x1 ) l2 ( x ) . ( x2 x0 )(x2 xx), 使满足条件
P n n ( xi ) yi , i 0,1,...,
xi为插 值节点
第 1章
§2
1.线性插值
插值方法
拉格朗日插值公式
问题:求作一次式P1(x), 使满足条件
P 1 ( x0 ) y0 , P 1 ( x1 ) y1
f (4) ( ) f ( x) P ( x 1)( x 0)( x 1)( x 2) 3 ( x) 4! ( x 1)( x 0)( x 1)( x 2)
P 3 ( x) f ( x) ( x 1)( x 0)( x 1)( x 2) 2 x3 x 2 2 x
f ' ' ( 2 ) y-y 2 ( x x0 )( x x2 ) 2
假设 f ' ' (1 ) f ' ' (2 )
y x-x2 x-x1 y1 y2 x1-x2 x2-x1
y-y1 x-x1 y-y2 x-x2 y-y1 x-x1 ( y2 y1 ) x2 -x1
n
x xj xk x j
)
第 1章
§3
1.拉格朗日余项定理
插值方法
插值余项
称R(x)=f(x)-Pn(x)为插值函数的截断误差,或插值余项. 拉格朗日余项定理:设函数f(x)在含有节点x0,x1,…,xn的
区间[a,b]内有直到n+1阶导数,且f(xi)=yi(i=0,1,…,n)已给, 则当x属于[a,b]时,对于Pn(x),有
第 1章
§1
1.泰勒插值
插值方法
问题的提法
问题:求作n次多项式Pn(x), 使满足条件
Pn
(k )
k) ( x0 ) y ( , k 0,1,..., n 0
泰勒插值问题的解是泰勒多项式：
Pn ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )(x x0 )
(n) f " ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n 2 n!
插值基函数
第 1章
3.一般情形 问题的解(插值公式):
插值方法
0, j k lk ( x j ) 1, j k
lk ( x)
j 0 j k n
插值基函数
x xj xk x j
n n
Pn ( x) yk lk ( x) yk (
k 0 k 0 j 0 j k
第 1章
插值方法
f ( x ) Pn ( x )
f ' ' ( ) ( x x0 )( x x1 ) 2 1 e - ( x 0)( x 1), ξ [0 ,1] 2 1 max e - max ( x 0)( x 1) 0 x 1 2 0 x 1 1 1 1 1 2 4 8
f ( n1) ( ) n f ( x) Pn ( x) ( x xk ), (n 1)! k 0 ξ [a,b]
第 1章
P1(x), 并估计误差.
插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.