反比例函数难题
1、如图,已知△Ｐ１OＡ1,△P2Ａ1A2，△P３Ａ２A3…△P n Aｎ-1Ａn都是等腰直角三角形，点P1、P
2、P３…Ｐn都在函
2、如图1，矩形ABCD的边BC在ｘ轴的正半轴上，点E(ｍ，１)是对角线BD的中点，点A、Ｅ在反比例函
数y=
（１)求ＡB的长;
(2)当矩形AＢCＤ是正方形时，将反比例函数y=k
x
的图象沿ｙ轴翻折，得到反比例函数y= 1
k
x
的图象(如
图2)，求k1的值;
（3）在条件（２）下,直线ｙ=-x上有一长为2动线段ＭN，作MH、NP都平行ｙ轴交第一象限内的双曲线
y=k
x
于点H、Ｐ，问四边形MＨPＮ能否为平行四边形(如图3)?若能，请求出点M的坐标;若不能，请说明
理由.
1.已知反比例函数y=
2k
x
和一次函数ｙ=2x-1,其中一次函数的图象经过(ａ,b ），（ａ+k ，b+k+2）两点．ﻫ(1)求反比例函数的解析式； （2)求反比例函数与一次函数两个交点Ａ、B 的坐标: （３）根据函数图象，求不等式
2k
x
>2x －1的解集;ﻫ（4)在（2)的条件下，ｘ轴上是否存在点P,使△AOP 为等腰三角形?若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来;若不存在，请说明理由．
１．如图,在平面直角坐标系ｘOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (ｋ≠0)的图象与反比例函数y ＝
(ｍ≠0）的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n )，线段OA =5,E 为x 轴负半轴上一点，且s i n ∠AOE ＝＼f （4，5). (1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AO Ｃ的面积.
(1)过A 点作AD⊥ｘ轴于点D,∵ｓin ∠AO Ｅ= 错误!未定义书签。
,ＯA ＝5， ∴在Ｒｔ△ADＯ中,∵siｎ∠AOＥ＝错误!未定义书签。
=错误!未定义书签。
= 4
5,
∴AD＝4,DO=ＯA ２－ＤA2=3,又点A 在第二象限∴点Ａ的坐标为(-3，4）,
x
m
将A 的坐标为(-３,4)代入ｙ＝ 错误!未定义书签。
，得４＝＼f(m,－3)∴m＝－1２，∴该反比例函数的解析式为y ＝－
错误!，
∵点B 在反比例函数y=－错误!的图象上,∴n=－错误!未定义书签。
=－2,点Ｂ的坐标为(6,－2）， ∵一次函数ｙ＝ｋx+b(ｋ≠0）的图象过Ａ、B 两点,∴错误!未定义书签。
,∴错误!未定义书签。
∴ 该一次函数解析式为ｙ=-错误!未定义书签。
x ＋2．
(2)在y ＝-错误!未定义书签。
x+２中，令ｙ＝0,即-错误!x ＋2=0，∴ｘ＝３,
∴点C 的坐标是(3，0),∴OC=３, 又DA=4, ∴S△ＡOC=错误!×OC×AD=错误!×3×4=6,所以△ＡＯC 的面积为6．
练习1.已知Rt△A ＢC 的斜边AB 在平面直角坐标系的ｘ轴上,点C(１,３）在反比例函数y ＝ 错误!未定义书签。
的图象上,且sin∠BA Ｃ= 错误!未定义书签。
.
（1)求k 的值和边AC 的长； (2)求点B 的坐标.
（
１
)
把
C(1,3
）
代
入
y =
ｋ
x
得k ＝ 3
设斜边AB
上的高为CD,则sin∠BAC =错误!=错误! ∵C(１，3） ∴CD=３,∴AC=5
(２）分两种情况,当点B 在点A 右侧时,如图１有:A Ｄ=错误!未定义书签。
=4，ＡO=4-1=3 ∵△AC Ｄ∽ＡBC ∴AC 2
=AD ·A Ｂ ∴AB ＝AC
2
A Ｄ=错误!未定义书签。
∴OB=ＡB －ＡO ＝
25
4
－３＝错误!未定义书签。
图1 此时B 点坐标为(＼ｆ(13,4),０）
图2 当点B 在点A 左侧时，如图2 此时AO=４＋1=5
OB= AB-AO ＝25
4
－5=错误!
此时Ｂ点坐标为(－错误!未定义书签。
,０） 所以点Ｂ的坐标为(＼f(13,4）,０）或(-错误!,0)．
1.如图，矩形A ＢOD 的顶点A 是函数
与函数在第二象限的交点,轴于B ,
轴于D ，且矩形ABO Ｄ的面积为3.
(1)求两函数的解析式．
(2）求两函数的交点A 、C 的坐标. (3）若点P 是ｙ轴上一动点,且，
求点Ｐ的坐标.
解：（1)由图象知k<０,由结论及已知条件得
-k ＝3 ∴
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)由,解得,
∴点A 、C 的坐标分别为(
,3）,(3,
）
(3)设点P 的坐标为（0，m ） 直线
与y 轴的交点坐标为M (０，2）
∵
∴∣PM ∣＝,即∣m -2∣=,∴或,
∴点Ｐ的坐标为（０，）或(0，）
1．如图,已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交
点.
（1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积.
解:（1）在上．
反比例函数的解析式为:．
点在上
经过，，
解之得一次函数的解析式为:
(２）是直线与轴的交点当时，点
1.(１)探究新知
如图１,已知△AＢC与△AＢD的面积相等，
试判断AB与CＤ的位置关系，并说明理由．
(2）结论应用：
①如图2,点M,N在反比例函数(k＞0）的图象上，过
点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．
试证明：MN∥EF．
②若①中的其他条件不变,只改变点M,Ｎ的位置如图3所示，请判断
MN与EF是否平行。
解:（1)证明:分别过点C,D,作CG⊥AB，DＨ⊥AＢ,
垂足为G，H，则∠CGA=∠DＨＢ＝90°．
∴CG∥ＤＨ．
∵△ABＣ与△ＡBＤ的面积相等,
∴CＧ=ＤＨ.
∴四边形ＣGHＤ为平行四边形
∴ＡB∥CD
（2)①证明:连结ＭF,NＥ.
利用同底等高的三角形面积相等，可知
∴Ｓ△EFM＝Ｓ△EF N
由(１)中的结论可知:MN∥EF．
②如图所示, MN∥EＦ.
已知:如图,正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
(１)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内,当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值?
(3）是反比例函数图象上的一动点,其中过点作直线轴,交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为６时，请判断线段与的大小关系，并说明理由.
（1）由点A(3，２）在两函数图象上，可求得
k=6,ａ=,正比例函数为,反比例函数为
(2)0＜x<3
(3)设D点坐标为(3，t），则Ｍ点坐标为（
由四边形ＯADＭ的面积为6得 3+6＋3＝３ｔ解得t=4
故点M为( D点为(3，4)
从而Ｍ点为BD中点，BM=ＤＭ。