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反比例函数知识点及经典例题

第十七章 反比例函数 一、基础知识
1. 定义:一般地,形如x k y =(k 为常数,o k ≠)的函数称为反比例函数。

x k
y =
还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征:
⑴等号左边是函数y ,等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k (也叫做比例系数k ),分母中含有自变量x ,且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。

⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法:描点法
① 列表(应以O 为中心,沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序) 连线(从左到右光滑的曲线)
⑵反比例函数的图像是双曲线,x
k
y =(k 为常数,0≠k )中自变量0≠x ,函
数值0≠y ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是x y =或x y -=)。

⑷反比例函数x k y =
(0≠k )中比例系数k 的几何意义是:过双曲线x
k
y = (0≠k )上任意引x 轴y 轴的垂线,所得矩形面积为k 。

4
5. 点的坐标即可求出k ) 6.“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,
但是反比例函数x k
y =中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用二、例题 【例1】如果函数2
22
-+=k k
kx y 的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值
是多少?【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x
k y =
,(0≠k )
即kx y =1-(0≠k )又在第二,四象限内,则0<k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义,得:
⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩
⎪⎨⎧<=
-=0211k k k 或
1-=∴k 1-=∴k 时函数2
22
-+=k k
kx y 为x
y 1
-=
【例2】在反比例函数x y 1
-=的图像上有三点(1x ,)1y ,(2x ,)2y ,(3x ,)3y 。

若3210x x x >>>则下列各式正确的是( )
A .213y y y >>
B .123y y y >>
C .321y y y >>
D .231y y y >> 【解析】可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法。

解法一:由题意得111x y -
=,221x y -=,3
31x y -= 3210x x x >>>Θ,213y y y >>∴所以选A
解法二:用图像法,在直角坐标系中作出x
y 1
-=的图像
描出三个点,满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 解法三:用特殊值法
213321321321,1,1,2
1
1,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令Θ
【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x
m
n y m n mx y -=≠+=30相交于点
(22
1,),那么该直线与双曲线的另一个交点为( ) 【解析】 ⎩⎨⎧==⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132
212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得,,相交于与双曲线直线Θ ⎪⎩⎪⎨⎧==
⎩⎨⎧-=-=⎪⎩


⎧=+==+=∴2
21111121,122211y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为 ()11--∴,
另一个点为 【例4】 如图,在AOB Rt ∆中,点A 是直线m x y +=与双曲线x
m
y =在第一象限的交点,且2=∆AOB S ,则m 的值是_____.
o
y x
y x
o
y x
o
y x
o
A B C D

解:因为直线m x y +=与双曲线x
m
y =过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,. 则有A
A A A x m
y m x y =
+=,.所以A A y x m =. 又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,. 所以m y x AB OB S A A AOB 2
1
2121==•=
∆.而已知2=∆AOB S . 所以4=m . 三、练习题
1.反比例函数x
y 2
-=的图像位于( )
A .第一、二象限
B .第一、三象限
C .第二、三象限
D .第二、四象限
2.若y 与x 成反比例,x 与z 成正比例,则y 是z 的( )
A 、正比例函数
B 、反比例函数
C 、一次函数
D 、不能确定 3.如果矩形的面积为6cm 2,那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为( )
4.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时, 气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数,其图象如图所示.当气球内气压大于120 kPa 时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应( )
A 、不小于54m 3
B 、小于54m 3
C 、不小于45
m 3
D 小于
45
m 3
5.如图 ,A 、C 是函数x
y 1
=
的图象上的任意两点,过A 作x 轴的垂线,垂足为B ,过C 作y 轴的垂线,垂足为D ,记Rt ΔAOB 的面积为S 1,Rt ΔCOD 的面积为S 2则 ( ) A . S 1 >S 2 B . S 1 <S 2
C . S 1=S 2
D . S 1与S 2的大小关系不能确定
6.关于x 的一次函数y=-2x+m 和反比例函数y=1
n x
+的图象都经过点A (-2,1).
求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)两函数图象的另一个交点B 的坐标;
(3)△AOB 的面积.
7. 如图所示,一次函数y =ax +b 的图象与反比例函数y =k x
的图象交于A 、B 两点,与x 轴交于点C .已知点A 的坐标为(-2,1),点B 的坐标为(1
2
,m ).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围.
8. 某蓄水池的排水管每小时排水8m 3,6小时可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少?
(2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到Q (m 3),那么将满池水排空所需的时间t (h )将如何变化?
(3)写出t 与Q 的关系式. (4)如果准备在5小时内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少? (5)已知排水管的最大排水量为每小时12m 3,那么最少需多长时间可将满池水全部排空?
.9.某商场出售一批名牌衬衣,衬衣进价为60元,在营销中发现,该衬衣的日销售量y(件)是日销售价x元的反比例函数,且当售价定为100元/件时,每日可售出30件.
(1)请写出y关于x的函数关系式;
(2)该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元,则其售价应为多少元?
10.如图,在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
m y
x
的图象交于A(-2,1)、B(1,n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式;
(2)求△AOB的面积。

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