反比例函数的典型例题一例 下面函数中,哪些是反比例函数? (1)3x y -=;(2)x y 8-=;(3)54-=x y ;(4)15-=x y ;(5).81=xy 解:其中反比例函数有(2),(4),(5).说明:判断函数是反比例函数,依据反比例函数定义,xky =)0(≠k ,它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式,(4),(5)就是这两种形式. 反比例函数的典型例题二例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号.若这个小题成正比例关系,填(正);若成反比例关系,填(反);若既不成正比例关系又不成反比例关系,填(非).(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 ( ); (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 ( ); (3)圆面积与半径的关系 ( ); (4)圆面积与半径平方的关系 ( );(5)三角形底边一定时,面积与高的关系 ( ); (6)三角形面积一定时,底边与高的关系 ( );(7)三角形面积一定且一条边长一定,另两边的关系 ( ); (8)在圆中弦长与弦心距的关系 ( );(9)x 越来越大时,y 越来越小,y 与x 的关系 ( ); (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 ( ). 答:说明:本题考查了正比例函数和反比例函数的定义,关键是一定要弄清出二者的定义.反比例函数的典型例题三例 已知反比例函数62)2(--=a xa y ,y 随x 增大而减小,求a 的值及解析式.分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题. 解 因为62)2(--=a xa y 是反比例函数,且y 随x 的增大而减小,所以⎩⎨⎧>--=-.02,162a a 解得⎩⎨⎧>±=.2,5a a所以5=a ,解析式为xy 25-=.反比例函数的典型例题四例 (1)若函数22)1(--=mx m y 是反比例函数,则m 的值等于( )A .±1B .1C .3D .-1(2)如图所示正比例函数0(>=k kx y )与反比例函数x y 1=的图像相交于A 、C 两点,过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ,连结BC .若AB C ∆的面积为S ,则:A .1=SB .2=SC .3=SD .S 的值不确定解:(1)依题意,得⎩⎨⎧-=-≠-,12,012m m 解得1-=m .故应选D . (2)由双曲线x y 1=关于O 点的中心对称性,可知:O BC O BA S S ∆∆=. ∴12122=⋅=⨯⨯==∆AB OB AB OB S S OBA .故应选A .反比例函数的典型例题五例 已知21y y y +=,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,当1=x 时,4=y ;当3=x 时,5=y ,求1-=x 时,y 的值.分析 先求出y 与x 之间的关系式,再求1-=x 时,y 的值. 解 因为1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,所以)0(,212211≠==k k xk y x k y . 所以xkx k y y y 2121+=+=.将1=x ,4=y ;3=x ,5=y 代入,得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.5313,42121k k k k 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.821,81121k k 所以xx y 821811+=. 所以当1-=x 时,4821811-=--=y . 说明 不可草率地将21k k 、都写成k 而导致错误,题中给出了两对数值,决定了21k k 、的值.反比例函数的典型例题六例 根据下列表格x(1量x 的取值范围.解:(1)图像如右图所示.(2)根据图像,设)0(≠=k xky ,取6,1==y x 代入,得16k=. ∴6=k . ∴函数解析式为)0(6>=x xy . 说明:本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力,即先由列表法通过描点画图转化为图像法,再由图像法通过待定系数法转化为解析法,题目新颖别致,有较强的趣味性.反比例函数的典型例题七例(1)一次函数1+-=x y 与反比例函数xy 3=在同一坐标系中的图像大致是如图中的( )(2)一次函数12--=k kx y 与反比例函数xky =在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的( )解:1+-=x y 的图像经过第一、二、四象限,故排除B 、C ;又xy 3=的图像两支在第一、三象限,故排除D .∴答案应选A .(2)若0>k ,则直线)1(2+-=k kx y 经过第一、三、四象限,双曲线xky =的图像两支在第一、三象限,而选择支A 、B 、C 、D 中没有一个相符;若0<k ,则直线)1(2+-=k kx y 经过第二、三、四象限,而双曲线的两支在第二、四象限,故只有C 正确.应选C .反比例函数的典型例题八例 已知函数24231-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=mx m y 是反比例函数,且其函数图像在每一个象限内,y 随x的增大而减小,求反比例函数的解析式.解:因为y 是x 的反比例函数,所以1242-=-m ,所以21=m 或.21-=m 因为此函数图像在每一象限内,y 随x 的增大而减小,所以031>+m ,所以31->m ,所以21=m ,所以反比例函数的解析式为.65xy = 说明:此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数xky =)0(≠k ,当0>k 时,y 随x 增大而减小,当0<k 时,y 随x 增大而增大.反比例函数的典型例题九例 一个长方体的体积是100立方厘米,它的长是y 厘米,宽是5厘米,高是x 厘米. (1)写出用高表示长的函数关系式; (2)写出自变量x 的取值范围; (3)当3=x 厘米时,求y 的值; (4)画出函数的图像.分析 本题依据长方体的体积公式列出方程,然后变形求出长关于高的函数关系式. 解 (1)因为长方体的长为y 厘米,宽为5厘米,高为x 厘米, 所以1005=xy ,所以xy 20=. (2)因为x 是长方体的高.所以0>x .即自变量x 的取值范围是0>x . (3)当3=x 时,326320==y (厘米) (4描点画图如图所示.反比例函数的典型例题十例 已知力F 所作用的功是15焦,则力F 与物体在力的方向通过的距离S 的图象大致是( ).说明 本题涉及力学中作功问题,主要考查在力的作用下物体作功情况,由此,识别正、反比例函数,一次函数的图象位置关系.解 据S F W ⋅=,得15=S F ⋅,即SF 15=,所以F 与S 之间是反比例函数关系,故选(B ).反比例函数的典型例题十一例 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.32如果如下图所示放在桌上,对桌面的压强是Pa 200,翻过来放,对桌面的压强是多少?解:由物理知识可知,压力F ,压强p 与受力面积S 之间的关系是.SFp =因为是同一物体,F 的数值不变,所以p 与S 成反比例. 设下底面是0S ,则由上底面积是032S , 由SFp =,且0S S =时,200=p , 有.20020000S S pS F =⨯==因为是同一物体,所以0200S F =是定值.所以当032S S =时,).Pa (3003220000===S S SF p因此,当圆台翻过来时,对桌面的压强是300帕.说明:本题与物理知识结合考查了反比例函数,关键是清楚对于同一个物体,它对桌面的压力是一定的.反比例函数的典型例题十二例 如图,P 是反比例函数xky =上一点,若图中阴影部分的矩形面积是2,求这个反比例函数的解析式.分析 求反比例函数的解析式,就是求k 的值.此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解.解 设P 点坐标为),(y x .因为P 点在第二象限,所以0,0><y x . 所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为y x ,-.又2=-xy ,所以2-=xy .因为xy k =,所以2-=k . 所以这个反比例函数的解析式为xy 2-=. 说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线,可得到一个矩形,这个矩形的面积等于xky =中的k .反比例函数的典型例题十三例 当n 取什么值时,122)2(-++=n nx n n y 是反比例函数?它的图像在第几象限内?在每个象限内,y 随x 增大而增大还是减小?分析 根据反比例函数的定义)0(≠=k xky 可知,122)2(-++=n n x n n y 是反比例函数,必须且只需022≠+n n 且112-=-+n n .解 122)2(-++=n nx n n y 是反比例函数,则⎪⎩⎪⎨⎧-=-+≠+,11,0222n n n n ∴⎩⎨⎧-==-≠≠.10,20n n n n 或且即 1-=n .故当1-=n 时,122)2(-++=n n xn n y 表示反比例函数:xy 1-=.。