(2)当 1 a 2
1
即
2a2
当 x a 时 2
a2 ymin 3 4
0


a 2

1
即
2

a

0时
当 x 1时 ymax 4 a
1 a 0 即0 a 2时
2
当 x 1时 ymax 4 a
(3)当 a 1 即a 2时 2 y x2 ax 3在[1,1]上单调递减
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递增
当x=t时
ymin=t2-2t+3
当x=t+1 时 ymax t 2 2
y
1
x
0 t t+1
小结
1、定义域为R的二次函数的最大值和最小值 2、定义域为某一闭区间上的最大值和最小值 3、关于带有字母参数的二次函数最值的讨论 4、作业：练习册第 页15题、一课一练第50页
对于定义域内任意x都成立，那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最小值。 记作ymin=f(x0 )
如果不等式f(x) f(x0 ), 对于定义域内任意x都成立，
那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最大值。记作ymax=f(x0 )
例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x 2 2x 3
X=1
3⑵当t 1时，函数y在[t,t 1]上单调递增
ymin f (t) t 2 2t 2
t2 1,(t 0) 综上所得：y最小值 1,(0 t 1)
t2 2t 2,(t 1)
1
t t t+1t t+1
0
1
例3：求函数y x2 ax 3 (a R) 在区间[1,1]
解： y ( x 3 )2 2 9
2
4
3 x
2
y
( x 3)2 4 1
2
4
-3
1
3 3 ,1
0x
2
当 x 3 时 2
1
ymin

4 4
当 x 1时 ymax 1 3 2 2
(2) y 1 x 2 2x 1 x [3 ,1]
1[t , t 1]
当x 1时 ymin 2
当t 1 1即t 1 时
2
2
当x t 1时 ymax t 2 2
当t 1 1即t 1 时
2
2
当x t 时
ymax t 2 2t 3
y
0
t t+1 x
y
0
t t+1 x
(4) 当 t 1时
5
x 5
解：y 1 ( x 5)2 6
y
5
5[3,1]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
当x 3时 当x 1时
26 ymax 5
6
ymin

5
1、 配方，求二次函数的顶点坐标。 2、判断顶点的横坐标是否在闭区间内。 3、计算闭区间端点的函数值，并比较大小。
主讲人：杨sir
二次函数: y ax2 bx c ( a0 )

a( x

b 2a
)
2

4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0ห้องสมุดไป่ตู้
x
4ac b 2
4a
0
x
函数的最大值和最小值的概念
设函数f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果不等式f(x) f(x0 )
解： y ( x 1)2 4
xR
当x=1时，ymax 4
y x=1 4
01
x
(2) y 2x 2 4x
解： y 2( x1)2 2
xR
当 x=1时，ymin 2
y x=1
1
0
x
-2
例2、求下列函数的最大值与最小值
(1) y x2 3x 2 (3 x 1)
1 3a
-1
1
0
x
二
次
x=a x=a x=a
函
2. 1 a 1 ymin f ( a ) a a 2
数
3. a 1 ymin f ( 1 ) 1 a
的
y
y
y
最
-1
1
-1
1
-1
1
值
0
x
0
x
0
x
x=a
x=a
x=a
例4：已知函数 y x2 2x 2 x [t,t 1]
上的最大值与最小值
解： y x2 ax 3 ( x a )2 3 a2
2
4
对称轴为x a
2
xa 2
y
(1) 当 a 1即a 2时
2
1
y x2 ax 3在[1，1]上单调递增 -1 0
x
当x 1时 ymin 4 a 当x 1时 ymax 4 a
对称轴 x 1
(1) 当 t 1 1 即 t 0 时
y
01
t t+1 x
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递减
当x t 时 ymax t 2 2t 3
当x=t+1时 ymin=t2+2
(2)当t 1 即0 t 1时 t 1 1
二次函数的最值
例 3 ：已知函数 y x2 2ax a x 1, 1
a是常数，求函数的最小值
解 函数 y x 2 2ax a
y
配方得：y x a2 a a2
自变量x的取值范围为 1, 1
1. a 1 ymin f ( 1 )
t为常数，求：函数的最小值。
解 y x2 2x 2 (x 1)2 1 对称轴为x 1
1⑶当t 1 1, 即：t 0时，函数y在[t,t 1]上单调递减
ymin f (t 1) t 2 1
2⑴当1[t,t 1],即：t [0,1]时
ymin f (1) 1
当x 1时 当x 1时
ymax 4 a ymin 4 a
y -1 0 1 x
y -1 0 1 x
y - 01 x 1
例4: 求函数 y x2 2 x 3 在 [t , t 1] 上的最大值
和最小值
解: y x2 2x 3 ( x 1)2 2