DABCEF解直角三角形在实际问题中的运用要点一：锐角三角函数的基本概念1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？2.（綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．3、（宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．OECD4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.5、（·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，(1) 求证：AC=BD ； (2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ）A 3B 2C ．12D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ）A ．(21)，B ．2)，C ．211)，D ．(121)，3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D ．433米 4.宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ） Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 5.（毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）A ．1323⎛- ⎝⎭，B ．3323⎛- ⎝⎭，C ．1323⎛-- ⎝⎭， D ．1322⎛- ⎝⎭， 6.（襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos30+ooog 等于（ ）（A ）1 （B 2 （C ）2 （D 3 三、解答题11.（·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°12.（崇左中考）计算：0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°．13.33sin 602458-+o o要点三、解直角三角形在实际问题中的运用1.（庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定．如图（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB =45°， ∠OAB =30°，OA =60cm ，求点B 到OA 边的距离．3 1.7，结果精确到整数）2.（郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角α为30°，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）3、（眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。

4、（常德中考）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的≈，结果保留整数）．坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.735、（广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造===)是否可行？说明理由。

(参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.4496.（广东中考）17．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路. 现新修一条路AC 到公路l . 小明测量出∠ACD =30º，∠ABD =45º，BC =50m. 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0.1m ；参考数据：414.12≈，732.13≈）.7.（安徽中考）19.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度.已知在离地面1500m ，高度C 处的飞机，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB 的长.8.（连云港市中考）24．（本题满分10分）如图，自来水厂A 和村庄B 在小河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A ，B 间的距离．一小船在点P 处测得A 在正北方向，B 位于南偏东24.5°方向，前行1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°方向，B 位于南偏西41°方向． （1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由； （2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）9.（苏州市中考）25．（本题满分5分）如图，小明在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为1，点P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上．点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC ． (1)山坡坡角（即∠ABC ）的度数等于▲ 度；(2)求A 、B 两点间的距离（结果精确到0.1）．第6题图东北600ABC10.（宿迁市中考）23．（本题满分10分）如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m ，请你计算出该建筑物的高度．（取3＝1.732，结果精确到1m ）11.（成都市中考）16．（本小题满分6分）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B 处时，发现灯塔A 在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B 处向正西方向行驶至达C 处时，发现灯塔A 在我军舰的北偏东60°的方向。

求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值)12.（金华市中考）19.(本题6分)生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬. 现在有一长为6米的梯子AB , 试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC . （结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77， cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）（第23E D CBA1.545︒30︒100A梯子13、（盐城市中考）24．（本题满分10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC 长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732）参考答案1、【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24（m），∴ED =12CD=12（m）．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE =EDOD=1213，∴OD =13（m）．（2）OE=22OD ED-= 2213125-=（m）∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．2、【解析】（1）在矩形ABCD中，90BC AD AD BC B=∠=，∥，°DAF AEB∴∠=∠DF AE AE BC⊥=Q，90AFD B∴∠=∠°=AE AD=ABE DFA∴△≌△．（2）由（1）知ABE DFA△≌△6AB DF∴==在直角ADF△中，22221068AF AD DF=-=-=60°30°ABCD2 EF AE AF AD AF∴=-=-=在直角DFE△中，DE===sinEFEDFDE∴∠===3、【解析】在Rt△ABC中, ∠C=90°, AB=15Asin=ABBC=54, ∴12=BC912152222=-=-=BCABAC∴周长为36,BC124tan A.AC93===4、【解析】在Rt △ABC中，c=5，a=3．∴22acb-=2235-=4=∴53sin==caA43tan==baA．5、【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tan B=ADBD，cos DAC∠=ADAC又已知tan cosB DAC=∠∴ADBD=ADAC．∴AC=BD．(2)在Rt△ADC中，12sin13C=，故可设AD=12k，AC=13k．DC5kAD ADBD13ktan B cos DACBC13k5k122k,AD8.3∴=====∠∴=+=∴==要点二、特殊角的三角函数值一、选择题1、答案：C2、答案：C3、答案：C4、答案：Ｃ5、答案：A6、答案：C三、解答题11、【解析】3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45° 1111330=+--= 12、【解析】原式=332311⨯-⨯+-=0． 13、【解析】33sin 602cos458-+=oo3232222⨯-⨯+ =2.5 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用1、【解析】如图，过点B 作BC ⊥OA 于点C∵ ∠AOB =45°，∴∠CBO =45°，BC =OC ． 设BC =OC =x ，∵∠OAB =30°， ∴ AC =BC ×tan60°=3x ．∵ OC +CA =OA ，∴x +3x =60， ∴ x =3160+≈22（cm ）．即点B 到OA 边的距离是22 cm ．2、【解析】在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP =米 MP=10·tan300 =10×33≈5.773米 因为 1.5AB =米所以MN=1.5+5.77=7.27米 答：路灯的高度为7.27米3、【解析】如图，过B 点作BD ⊥AC 于D∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB ＝90°－45°＝45° 设BD ＝x ，在Rt △ABD 中，AD ＝x ⋅tan30°3x 在Rt △BDC 中，BD ＝DC ＝x BC 2x又AC ＝5×2＝10 310+=x x ， 得5(31)x =， ∴231)62)BC ==（海里）答：灯塔B 距C处-海里 4、【解析】设山高BC =x ，则AB =12x ， tan 3012002BC x BD x ==+o ，得1)400x =，解得162x ==米5、【解析】（1）在Rt ABC △中，sin 45AC AB ==o gcos 45BC AB ==o gRt ADC △中sin 30ACAD ==otan 30AC CD ==o2.07(m)AD AB ∴-≈改善后的滑滑板会加长2.07m ． （2）这样改造能行．因为 2.59(m)CD BC -≈，而63 2.59-> 6、 略解：AD=25(3+1)≈68.3m 7. 简答：∵OA 350033150030tan 1500=⨯=⨯=ο， OB=OC=1500， ∴AB=635865150035001500=-≈-(m). 答：隧道AB 的长约为635m. 8、解：（1）相等由图易知，∠QPB ＝65.5°，∠PQB ＝49°，∠AQP ＝41°，∴∠PBQ ＝180°－65.5°－49°＝65.5°．∴∠PBQ ＝∠BPQ ． ∴BQ ＝PQ（2）由（1）得，BQ ＝PQ ＝1200 m ．在Rt △APQ 中，AQ ＝PQ cos ∠AQP ＝12000.75 ＝1600（m ）．又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°，11 / 11∴Rt △AQB 中，AB＝AQ 2＋BQ 2 ＝16002＋12002 ＝2000（m ）． 答：A ，B 间的距离是2000 m ．9、10. 解：设CE ＝x m ，则由题意可知BE ＝x m ，AE ＝(x ＋100)m ． 在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝AE CE ，即tan30°＝100+x x∴33100=+x x ，3x ＝3(x ＋100) 解得x ＝50＋503＝136.6∴CD ＝CE ＋ED ＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m) 答：该建筑物的高度约为138m ． 11. 由题意得∠A=60°， ∴BC=AB×tan60°=500× =500 m ． 答：该军舰行驶的路程为500 m ．12、 当α=70°时，梯子顶端达到最大高度, ……1分 ∵sin α=ABAC, ……2分 ∴ AC = sin70°×6=0.94×6=5.64 ……2分≈5.6(米)答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米．……1分 13、.解：过点B 作BF ⊥CD 于F ，作BG ⊥AD 于G .在Rt △BCF 中，∠CBF =30°，∴CF =BC·sin 30°= 30×12 =15.在Rt △ABG 中，∠BAG =60°，∴BG =AB·sin 60°= 40×32 = 20 3.∴CE =CF +FD +DE =15+203+2=17+203≈51.64≈51.6（cm ）cm. 答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是51.6cm.（第10题）B A1.545︒30︒100FGD CBA30°60°。