: : :: : 第n次观测： {x1n，x2n，...xT 1n，xT n}
样本空间
比如某河流一年的水位值， {x1, x2, …, xT-1, xT,}， 可以看做一个随机过程，每一年的水位记录则是一 个时间序列，如{x11, x21, …, xT-11, xT1}。
而在每年中同一时刻（如t=2时）的水位记录是不 同的，{ x21, x22, …, x2n,} 构成了x2取值的样本空间。
第六章 时间序列分析
6.1 时间序列分析的基本概念 6.2 平稳性检验 6.3 ARIMA模型 6.4 协整与误差修正模型 6.5* 向量自回归（VAR）模型
第一节 时间序列分析的基本概念
一、时间序列与随机过程
随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为{Xt ，t T}
简记为 {Xt} 或Xt 。随机过程中的每一个元素X t
二、平稳性（Stationarity）
1.严平稳
如果一个时间序列xt的联合概率分布不随时 间而变，即对于任何n和k， x1, x2 ,…，xn的联合 概率分布与x1+k , x2+k , … xn+k的联合分布相同， 则称该时间序列是严格平稳的。
2、弱平稳
由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我
式我们同样可通过差分的方法使其变为平稳的序列，
因 此 （ 1 ） 式 也 被 称 为 差 分 平 稳 过 程 （ difference
stationary process），或称随机趋势非平稳过程。
4. 趋 势 平 稳 过 程 （ trend stationary process）
xt =+t+εt
则一个时间序列是“弱平稳的”，通常情况下，我们所 说的平稳性指的就是弱平稳。
三、五种经典的时间序列类型
1.白噪声（ White noise）
白噪声通常用εt表示，是一个纯粹的随机过程，满足：
（1）E(εt) = 0 , 对所有t成立；
（2）V ar(εt) = σ2，对所有t成立；
（3）Cov (εt, εt+k) = 0，对所有t和k≠0成立。
四、单整
如果一个时间序列经过一次差分后能够变成平稳 序列，就称原序列是一阶单整（integrated of 1） 序列，记为I(1)。如果一个时间序列经过d次差分后 能够变成平稳序列，则相应的称原序列是d阶单整 （integrated of d）序列，记为I(d)。如果一个序 列不管差分多少次，也不能变为平稳序列，则该序列 为“非单整” （non-integrated）序列。显然，I(0) 代表平稳时间序列。
+εt 的特例，此式通常被称为一阶自回归过程（简记为
AR(1)），可以证明该过程在－1＜＜1时是平稳的，其
他情况下，则不平稳。
xt=xt-1+εt 又是 xt =1 xt-1+2 xt-2+……+q xt-q+εt的特
例，即q阶自回归过程（简记为AR(q)），如果其特征方 程的所有根的绝对值均大于1，则序列是平稳的，否则为 非平稳过程。
证得E(xt)= E(xt-1)，Var(xt)= t2，xt的方差与时间t有关
而非常数，因此随机漫步序列是非平稳序列。
随机游走序列可以通过差分变换后： Δxt=ut 。由 于ut 是白噪声，所以Δxt是平稳序列，说明随机漫步可 以通过差分变换为平稳序列。
随机游走过程是最简单的非平稳过程，它是 xt=xt-1
白噪声可用符号表示为：εt～IID(0, σ2)
（6.1.1）
这里IID为Independently Identically Distri机漫步（Random walk）
如果一个序列由如下随机过程生成：
xt= xt-1+ut ，
其中ut是一个白噪声，则该列序被称为随机漫步。容易
们用随机变量 xt （t=1,2,…）的均值、方差和协方
差代替之。如果满足：
(1)均值E(xt ) ,t 1, 2,... (2)方差Var(xt ) E(xt )2 2,t 1, 2,... (3)协方差Cov(xt , xtk ) E(xt )(xtk ) k ,t 1, 2,..., k 0
都是随机变量。随机过程的一次观测结果称为时间序列，用
{xt，t T} 表示，并简记为{xt} 或 xt
时间序列中的元素称为观测值。
时间序列
随机过程的一次实现称为时间序列，可用{xt}或 xt表示。随机过程与时间序列的关系图示如下：
随机过程： {X1，X 2，...XT 1，XT } 第1次观测： {x11，x21，...xT 11，xT1} 第2次观测： {x12，x22，...xT 12，xT 2}
根据的正负，xt会表现出明显的上升或下降趋势，
这种趋势称为确定性趋势（deterministic trend）。
对于确定性趋势，我们无法通过差分的方法消除， 而只能通过除去趋势项来消除，使该序列变为平稳， 这样的序列我们称为趋势平稳过程，或称退势平稳过 程。其规范表述如下：
xt = 0 + 1 t +εt, εt = εt-1 + vt , ( <1, vt IID(0, 2))
第二节 平稳性检验
平稳性检验的方法可分为两类：一类是根据时间 序列图和自相关图显示的特征作出判断的图形检验 法；另一类是通过构造检验统计量进行定量检验的 单位根检验法 (unit root test)。
一、图形检验法
1.时间序列图检验 根据平稳时间序列均值、方差为常数的特点，可知平稳
序列的时间序列图应该围绕其均值随机波动，且波动的范 围有界。如果所考察的时间序列的时间序列图具有明显的 趋势性或者周期性，那么通常认为该序列是不平稳的。
3.带漂移项的随机漫步 (Random walk with drift)
首先考虑如下随机过程：
xt =+t+ xt-1+ut 其中：ut是白噪声，t为时间趋势。如果=1，=0，则
上式为一带漂移项的随机游走过程：
xt =+xt-1+ut
（1）
根据的正负，xt表现出明显的上升或下降趋势，这种
趋势称为随机性趋势（stochastic trend）。对于（1）
2.序列自相关函数的图形检验