(2)计算扭矩
从受力情况看，在轴的AB，BC，CD三段内，各横截面上的扭矩是不相等的。
现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。 在AB段，用截面1—1截取，取左段为研究对象，并假设该截面上的扭矩T1为 正，如图4.5(c)所示。由平衡方程 MA+T1=0 于是有 T1=-MA=-1 910 N²m ，得
相反的切应力′，于是组成力偶矩为(′dxdz)dy的力偶。根据平衡方 程 ，得 ′dxdz)dy
( dydz)dx=( 于是
如图4.7(a)所示的单元体在其两对相互垂直的平面上只有切应力而无正应力 。这种应力状态称为纯剪切应力状态。显然，薄壁圆筒发生扭转时处于纯剪
切应力状态。由于这种单元体的前、后两平面上无任何应力，所以可将其改
图4.3 根据平衡方程 ，即
T-Me=0
得 T=Me
显然，若截取后取右段为研究对象，则在同一横截面上可求得扭矩的数值大
小相等而方向相反。为使同一横截面上的扭矩正、负号一致，对扭矩的符号 规定如下：按右手螺旋法则确定扭矩矢量T，当T的指向与横截面的外法线方
向一致时，扭矩为正(见图4.4(a))，反之，为负(见图4.4(b))。
依据上述分析，可知薄壁圆筒的扭转时，横截面上各处的切应力值均相等， 其方向与圆周相切。由于横截面上的扭矩都是该截面上的应力与横面积dA之 乘积的合成，如图4.6(d)所示，可得
所以
(2)切应力互等定理 在承受扭转的薄壁圆筒上，用两个横截面、两个径向截面和两个圆柱面截取 出边长分别为dx，dy，dz的单元体，并放大为图4.7(a)所示。单元体的左、 右两侧面是圆筒横截面的一部分，所以有切应力。切应力值根据公式(4.2) 计算，数值相等但图4.7方向相反，于是组成一个力偶矩为( dydz)dx的力偶 。为保持平衡，单元体的上、下两个面必须有切应力，并组成力偶以与力偶 ( dydz)dx相平衡。由 可知，上、下两个面上存在大小相等、方向
在研究扭转的应力和变形之前，先介绍作用于轴上的
外力偶矩及横截面上的内力。
4.2.1外力偶矩的计算 以工程中常见的传动轴为例，作用在轴上的外力偶矩与轴传递的功率和转速 有关。若已知轴传递的功率为Pk，单位kW，转速为n，单位r/min，则圆轴在 每分钟内传递的功为 W=Pk²t=Pk³103³60 外力偶矩Me在每分钟内完成的功为 W′=Me²φ =Me³2π ³n 由于W′=W，所以作用在轴上的外力偶矩
图4.1
上述杆件的受力可简化为如图4.2所示，其受力特点是在杆件 两端作用两个大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线 的力偶。变形特点是杆件的任意两个横截面绕其轴线作相对的 转动。扭转时杆件两个横截面相对转动的角度称为相对扭转角 ，一般用φ 表示(见图4.2)。
图4.2
4.2外力偶矩的计算扭矩与扭矩图
4.3圆轴扭转时的应力
本节讨论等直圆轴扭转时的应力。先通过研究薄壁圆筒的扭转寻求扭转时横 截面上的应力和应变的分布规律及其二者之间的关系，再进一步从等直圆轴
受扭时的变形几何关系、物理关系和静力关系３个方面综合分析，推导圆轴
扭转时的应力计算公式。
4.3.1纯剪切 (1)薄壁圆筒的扭转 设一等厚薄壁圆筒，其壁厚δ 远小于其平均半径为r，两端承受外力偶矩Me ，如图4.6(a)所示。圆筒任一横截面上的扭矩都是由截面上的应力与微面积 dA之乘积合成的，因此横截面上的应力只能是切应力。
图4.6
为得到沿横截面圆周各点处切应力的变化规律，可在薄壁圆筒受扭前，在筒 表面画出一组等间距的纵向线和圆周线，形成一系列的矩形小方格。然后在 两端施加外力偶矩Me，圆筒发生扭转变形。由此可以观察到： ①圆筒表面各纵向线在小变形下仍保持直线，但都倾斜了同一微小角度γ 。 ②各圆周线的形状、大小和间距都保持不变，但绕轴线旋转了不同的角度。 因筒壁很薄，所以可将圆周线的转动视为整个横截面绕轴线的转动，圆筒两 端截面的相对扭转角为φ ，如图4.6(b)所示。此外，圆筒任意两横截面之间 也有相对转动，从而使筒表面的各矩形小方格的直角都改变了相同的角度γ ，如图4.6(c)所示，这是横截面上切应力作用的效果，又因薄壁圆筒δ r ，所以可近似认为切应力沿壁厚不变。
第4章 扭转
4.1扭转的概念和实例 工程中，受扭构件是很常见的。例如，汽车转向轴，当汽车转向时，驾驶员 通过方向盘把力偶作用在转向轴的上端，在转向轴的下端则受到来自转向器
的阻力偶作用，如图4.1(a)所示。又如轴承传动系统的传动轴工作时，电动
机通过皮带轮把力偶作用在一端，在另一端则受到齿轮的阻力偶作用，如图 4.1(b)所示。
负号表明截面1—1上的实际扭矩方向与假设方向相反，按照扭矩的符号规定 ，该截面上扭矩是负的。
同理，可求得截面2—2和截面3—3上的扭矩分别为
T2=-3 820 N²m9T3=5 730 N²m (3)绘制扭矩图
根据上述计算，绘制扭矩图如图4.5(f)所示。可以看出，该轴的最大扭矩发
生在CD段，且Tmax=5 730 N²m。
用平面图加以表示，如图4.7(b)所示。
图4.7
(3)剪切胡克定律 通过薄壁圆筒的扭转实验可以得到材料在纯剪切应力状态下应力与应变之间 的关系。 试验结果表明，当切应力低于材料的剪切比例极限时，相对扭转角φ 与扭矩
应用时需要注意功率和转速的单位。
4.2.2扭矩与扭矩图 杆件上的外力偶矩确定后，就可用截面法计算任意横截面上的内力。以如图 4.3(a)所示的圆轴为例，假想用m—m截面将圆轴一分为二，并取其左段为研 究对象(见图4.3(b))。由于整个轴是平衡的，则左段也处于平衡状态，这就 要求m—m横截面上的内力必须归结为一个力偶矩，称为扭矩，用T表示。
图4.4
下面举例说明扭矩的计算和扭矩图的绘制。
例4.1如图4.5(a)所示的传动轴，已知轴的转速n=300 r/min，主动轮C输入
功率PC=360 kW，3个从动轮A，B，D输出功率分别为PA=60 kW，PB=120 kW， PD=15
解(1)计算外力偶矩 根据公式(4.1)计算作用于各轮上的外力偶矩