教学内容
【知识结构】 1、三阶行列式 ①对角线方式展开
②按某一行(或列)展开法
33
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11
a 33322322a a a a -12a 3331
2321a a a a
+13a 32
3122
21a a a a
记 32
2211a a M =
33
23a a ，111111)1(M A +-=；31
2112a a M =
33
23a a ， =12A 1221)1(M +-；31
2113a a M =
32
22a a ， 133113)1(M A +-= 。

称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式，
j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j 。

则三阶行列式就可以写成D =33
32
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++,
2、用三阶行列式求三角形的面积：若ABC ∆三个顶点坐标分别为),(11y x 、),(22y x 、),(33y x ，
则1122331
1121
ABC
x y S x y x y ∆= A 、B 、C 三点共线的充分必要条件为112
2331101
x y x y x y =
【例题精讲】
例1．方程1313211
11=x
的解=x ____6_______.
例2．方程020
014211111=--x x
的解为_________________．21=x ，5log 22=x
例3. 关于x 的多项式x
x
x
x
x 221
1
1
---中含23,x x 项的系数分别是 -2和4 例4.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）2
1
141183---； （2）a b c
b c a c a b
（3）22
21
11
a b c a b c ； （4）x
y x y y x y x x y
x
y
+++
解：(1) -4 (2) 3333c b a abc --- (3) (a-b)(b-c)(c-a) (4) 3322y x --
例5.设=-+----=31211142,4
101322
13A A A D 则 0
例6.按要求展开行列式：3
022
13231
D -=-； （1）按对角线展开；（2）按第一行展开；（3）按第一列展开；
解：-40
例7. 计算下列行列式：
(1)2
130;154
-- (2)001
1
052
112
---;
解：注意：这种三角型行列式的值等于其对角线上元素的乘积。

2
13023(4)24154
-=⨯⨯-=--
解：按第一行展开
130
01
1011
05(1)(1)222
11
112
+-=-⋅-=---
例8.解下列方程组：（1）63-2752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩；（2）135x y z x y z x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
；
x=1 y=2 z=3
例9.当实数a,b 满足什么条件时，关于,,x y z 的方程组4324ax y z x by z x by z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
无解？有无穷多解？
解：D=b-ab=b(a-1) Dx=1-2b Dy=1-a
Dz=-2ab+4b-1
无解：a=1, b 不等于1/2 或b=0,
无穷解：a=1.b=1/2
【备选例题】
例10.设ABC ∆中，112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，求证：11223
311|1|21
ABC x y S x y x y ∆=；
例11. 如右图 “杨辉三角形”，从左上角开始的4个元素构成的
二阶行列式2
11
1的值等于1；从左上角开始的9个元素 构成的三阶行列式6
31321111的值也等于1；猜想从左上 角开始的16个元素构成的四阶行列式
20
104110
6
3
14
3211
111的值等于____1________.
例12 .ABC ∆中三内角A B C 、
、所对边为a b c 、、．若行列式0b a
c b
=，且角3
A π
=
，则
sin b B
c = ．32
1 1 1 1 1 1 1…
1 2 3 4 5 6…
1 3 6 10 15…
1 4 10 20…
1 5 15…
1 6 … 1…
B1
C1A1
A
B
C
O y
x
例13.已知点A (–1, 0)，点B (1, 0)，点P (x+1, y )在x 轴的下方，设a=PB PA ⋅，b=AB AP ⋅，c =BA BP ⋅，d =|AB |，且
d
c b a =0．
(1)求a 、b 、c 关于x 、y 的表达式；
(2)求y 关于x 的函数关系式y=f (x )，并求当y 取得最小值时P 点的坐标． 解：(1) 因为PA =(–x –2, –y )，PB =(–x , –y )，所以a=PB PA ⋅=x 2+y 2+2x ，……2分
AP =(x+2, y )，AB =(2, 0)，b=AB AP ⋅=2x+4，…………………………………3分 BP =(x , y )，BA =(–2, 0)，c=BA BP ⋅= –2x ，……………………………………4分
d=||AB =2，…………………………………………………………………………5分 (2)因为
d
c b a =0，所以2(x 2+y 2+2x )–(2x+4)( –2x )=0，即：3x 2+y 2+6x =0，……7分
由于点P (x+1, y )在x 轴的下方，所以y= –x x 632--，(–2<x <0)
y= –x x 632--= –3)1(32++-x ，(–2<x <0)………………………………10分 所以当x = –1时，y min = –3，此时P (0, –3)……………………………………12分。