对于二元线性方程组
若记
D
,
系数行列式
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D a11 a21 a12 a22
,
机动
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
注意
分母都为原方程组的系数行列式.
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例1. 求解二元线性方程组
3 x1 2 x 2 12, 2 x1 x 2 1.
解
D 12 1
3 2
2 1
3 ( 4) 7 0,
3 2 12 1
D1
2 1
14, D2
14 7
21,
记
D1 b2 b3 b1
即
D1 b2 b3
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
D1 b1 b2 a12 a22 ,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D2 a11 a21 b1 b2
.
机动
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则二元线性方程组的解为
b1 x1 D1 D b2 a11 a21 a12 a22 a12 a22 , x2 D2 D a11 a21 a11 a21 b1 b2 a12 a22 .
D1 b1 b2 a12 a22 ,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a21 a12 a22
机动 目录 上页 下页 返回 结束
D
,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
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思考题
求一个二次多项式 x , 使 f
f 1 0, f 2 3, f 3 28.
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1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
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1
1
1 x 0. x
2
例3. 求解方程 2 3
4 9
解
方程左端
D 3 x 4 x 18 9 x 2 x 12
分析：由题意可列表如下：
原料A数量 原料B数量 利润（元） （千克） （千克）
产品 生产甲种 产品一件
3
1
30
生产乙种 产品一件
生产丙种 产品一件 限额数量
2
1 1200
2
3 800
40
35
设计划生产x件甲种产品，生产y件乙种产品， 生产z件丙种产品，则获得利润为：
f=30x+40y+35z 其中满足x, y, z下列条件： 3x+2y+z=1200
线性代数
例：某工厂计划生产甲、乙、丙三种产品，这三 种产品都需要A、B两种原料，生产一件甲产品 需要A种原料3千克，B种原料1千克，生产一件 乙产品需要A种原料2千克，B种原料2千克，生 产一件丙产品需要A种原料1千克，B种原料3千 克。现有A种原料1200千克，现有B种原料800千 克。如果生产一件甲产品的利润是30元，生产一 件乙产品的利润是40元，生产一件丙产品的利润 是35元。问甲、乙、丙三种产品各生产多少能使 利润的总额最大？
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 兰线上三元素的乘积冠以正号，黄线上三 元素的乘积冠以负号．
说明 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
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2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 如果三元线性方程组
得
D2 a21 a31
a11 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a x a x a x b ; a31 31 1 32 2 33 3 3
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 b1 b2 b3 a13 a23 , a33 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去x2，得
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（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
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三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 二阶与三阶行列式的计算
a11 a21
a11 a21 a31
对角线法则
a12 a22
a12 a22 a32
a11a22 a12a21 .
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33
得
D2 a21 a31
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33结束
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 b1 b2 b3 a13 a23 , a33 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
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a11 D a21 a31 a11 D3 a21 a31
a12 a22 a32 a12 a22 a32
a13 a23 a33 b1 b2 . b3
b1 D1 b2 b3 a11 D2 a21 a31
a12 a22 a32 b1 b2 b3
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a11a22 a12a21 .
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二阶行列式的计算
主对角线
a11
a 21
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a12 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a21 a12 a22
副对角线
则三元线性方程组的解为:
x1 D1 D , x2 D2 D , x3 D3 D .
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1
2 2 4
-4 1 -2
例2. 解
计算三阶行列式 D - 2 -3
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
21 7

x1
D1 D

2,
x2
D2 D

3.
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二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行 3列的数表
a11 a 21 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
( 6)
( 5)
记
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a 31
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
(6) 式称为数表 (5) 所确定的三阶行列式.
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对角线法则
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
2 2
x 5 x 6,
2
由 x 5 x 6 0 解得
2
x 2 或 x 3.
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例4.
解线性方程组
x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3