1.4 含绝对值的不等式解法1．不等式|x-2|>1的解集是（D ） A ．}31|{<<x xB ．}33|{>-<x x x ，或C ．}33|{<<-x xD ．}31|{><x x x ，或提示：12-<-x 或12>-x ，∴1<x 或3>x ． 2．不等式1|31|<-x 的解集为（C ） A ．，0|{<x x 或}32>xB ．，32|{-<x x 或}0>xC ．}320|{<<x xD ．}032|{<<-x x 提示：化为1311<-<-x 后解不等式组得．3．下列不等式组的解集为实数集R 的一个是（A ） A ．⎩⎨⎧≤--->3|1|11||x xB ．⎩⎨⎧-<>-3212x xC ．⎩⎨⎧≤->31x xD ．⎩⎨⎧≤->3|1|1||x x提示：逐一求解不等式组，或直接判断可知A 中不等式组是恒成立的不等式组．4．已知集合M={x||x-1|<2}与集合P={x||x-1|>1}，则M ∩P=（C ） A ．{x|-1<x<3}B ．{x|-1<x<0}C ．{x|-1<x<0，或2<x<3}D ．{x|x<0，或x>3} 提示：M=}31|{<<-x x ，P=0|{<x x ，或}2>x ．5．已知不等式|x-a|<b 的解集是{x|-3<x<9}，则实数A 、B 的值依次是（B ） A ．-3、9 B ．3、6C ．3、9D ．-3、6提示：必有0>b ，∴b a x b <-<-，即不等式的解为b a x b a +<<-，令3-=-b a ，9=+b a 解得．6．已知不等式|x+3|≥|x-5|成立，则实数x 的取值范围是（B ） A ．{x|x>1} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x<1} D ．{x|x ≤1}提示：即0)5()3(22≥--+x x ，∴0)53)(53(≥+-+-++x x x x ．7．已知a 2=9，则不等式x 2-|a|≥0的解集是（B ）A ．{x|x ≤3-，或x ≥3}B ．{x|x ≤3-，或x ≥3}C ．{x|3-≤x ≤3}D ．{x|3-≤x ≤3}提示：即32≥x ．8．不等式|21||3|x x ->+的解集是（A ） A ．2{|3x x <-，或4}x > B ．{|3x x <-，或4}x > C ．{|34}x x -<<D ．2{|4}3x x -<< 提示：原不等式即22(21)(3)x x ->+，∴(213)(213)0x x x x -++--->，即(32)(4)0x x +->，∴23x <-，或4x >，故选A ．9．设集合M={2|||<-a x x }，P={x |1212<+-x x }，若M ⊆P ，则实数a 的取值范围是（A ） A ．{a |0≤≤a 1} B ．{a |0<<a 1} C ．{1|≥a a } D ．{0|≤a a }提示：}22|{+<<-=a x a x M ，}32|{<<-=x x P ，∴22-≥-a ， 且32≤+a ．10．不等式|1|2kx -<的解集为{|13}x x -<<，则实数k 满足条件（C ）A ．21k -<<B ．113k -<< C ．1k = D ．3k =- 提示：不等式即212kx -<-<，∴13kx -<<，反代检验立知1k =．11．已知不等式||(0)x a a >>的解集是)2()2(∞+--∞，，，则不等式3|3|-≤-a a x的解集是（C ）A ．)1[]1(∞+--∞，，B ．RC ．ФD ．]11[，- 提示：由已知得a=2，则不等式3|3|-≤-a a x即为1||-<x ，由绝对值的意义知这不可能，即不存在实数使不等式3|3|-≤-a a x成立，所以应选择的答案是C ． 12．设全集U=R ，集合M={x||x|<2}，P={x|x ∈N }，给出下列命题： ①0∈M ∩P ； ②-2∈M ∪P ； ③3∈C U M ∩P ； ④C U M={x||x|>2}； 其中正确的命题是（C ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④提示：集合M 即{22|<<-x x }，集合P 即自然数集N ，注意到自然数集中含有元素0，M 在R 中的补集应该是集合{x||x|≥2}，所以正确命题是①和③；故选C ．13．设全集是R ，集合M={|||1}x x ≥，P={||1|2}x x -<，则（ðR M ）∪（ðR P ）=___________．[答案]{|1x x <，或3}x ≥提示：{|1M x x =≤-，或1}x ≥，∴{|11}R M x x =-<<ð，{|13}P x x =-<<，∴{|1R P x x =≤-ð，或3}x ≥，∴（ðR M ）∪（ðR P ）={|1x x <，或3}x ≥；本题也能由ðR （M ∩P ）=（ðR M ）∪（ðR P ）解得．14．若集合M={x|2x-a<3}与P={x|-x+4≤3a}的交集是空集，则实数a 的取值范围是________．[答案]{a|75a ≤} 提示：M={x|x<23a +}，P={x|x ≥4-3a}，∴23a+≤4-3a ．15．不等式|x-3|-|x+2|>0的解集为___________． [答案]1{|}2x x <提示：即32x x -<--，或32x x ->+，故得12x <． 16．设全集为R ，已知集合M={x||4x|≥13}，集合P={x||x|≤2a ，a>0}，若M ∩P 是非空集合，且集合M ∩P 所对应的区间长度之和为23，则a=___________． [答案]2提示：由已知得M={，413|-≤x x 或413≥x }，P=}22|{a x a x ≤≤-，利用数轴表示出集合M ∩P ，可得M ∩P={x|-2a ≤x ≤-413，或413≤x ≤2a}，由此知M ∩P 所对应的区间长度之和为2（2a-413）=23，解得a=2．17．已知实数a ≠0，则关于x 的不等式|ax+3|<2的解集是_____________．[答案]0a <时为15{|}x x a a -<<-；0a >时为51{|}x x a a-<<- 提示：原不等式即232ax -<+<，∴51ax -<<-，若0a >，则原不等式解集为51{|}x x a a -<<-；若0a <，则原不等式的解集为15{|}x x a a-<<-． 18．不等式2≤|3x-4|<3的解集是______________． [答案]}3723231|{<≤≤<x x x ，或 提示：令3x-4=y ，则不等式等价于不等式组⎩⎨⎧<≥；，3||2||y y 即⎩⎨⎧<<-≥-≤；，，或3322y y y∴3223<≤-≤<-y y ，或，即34322433<-≤-≤-<-x x ，或，解这一对应的一元一次不等式组，得原不等式的解集是}3723231|{<≤≤<x x x ，或．19．已知a 为实数，且关于x 的不等式|(1)|1a x a -<-的解集是{|11}x x -<<，则关于x的不等式|(1)2|1a x a +-≥-的解集是___________． [答案]R提示：若a ≤1则不等式|(1)|1a x a -<-的解集是空集，故在已知条件下有1a >， ∴不等式|(1)2|1a x a +-≥-的右边是一个负数，由绝对值的意义知这一不等式对于任意实数x 都成立，∴所求解集为实数集R ． 20．解不等式|x x 21|43+>-．[解答]若340x -≥，则原不等式化为不等式组⎩⎨⎧+>-≥-；，x x x 2143043解这一不等式组得5x >；若340x -<，则原不等式化为不等式组⎩⎨⎧+>+-<-；，x x x 2143043此时解得53<x ； 综上得原不等式的解集是553|{><x x x ，或}．21．解不等式|2-|2x+1||>1．[解答]原不等式等价于2-|2x+1|<-1，或2-|2x+1|>1， 即|2x+1|>3，或|2x+1|<1，由|2x+1|>3，得2x+1<-3，或2x+1>3，∴x<-2，或x>1； 由|2x+1|<1，得-1<2x+1<1，∴-1<x<0；综合以上得原不等式的解集是{x|x<-2，或-1<x<0，或x>1}．22．已知对于任意的实数x ，不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，求出实数k 的取值范围．[解答一]∵=)(x f =--+|2||1|x x ；，，)2()21()1(3211221321≥<≤--<⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=-++-=-+--x x x x x x x x x x∴3|2||1|min -=--+）（x x ，欲不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，当且仅当k 小于)(x f 的最小值时，∴k 的取值范围是（3,-∞-）．[解答二]要使不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，只要代数式|x+1|-|x-2|的最小值大于k ，反之即要求k 小于代数式|x+1|-|x-2|的最小值；注意到|x+1|的几何意义为数轴上的点x 到-1的距离，|x-2|的几何意义为点x 到2的距离，由于这两个距离之差的最小值显然是-3，∴只需k<-3．故k 的取值范围是（3,-∞-）．23．解下列不等式：（1）|5x-4|≥6； （2）3-|-2x-1|>0；（3）1≤|32x+|<3． [解答]（1）即5x-4≤-6，或5x-4≥6，解得52-≤x ，或2≥x ； （2）即|2x+1|<3，∴-3<2x+1<3，解得-2<x<1；（3）原不等式等价于不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+;3|32x|,1|32x|即⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧<<--≥-≤∴<+<-≥+-≤+∴<+≥+;0x 12,4x ,8x ;66x 6,26x ,26x ;6|6x |,2|6x |或或∴原不等式的解集为{x|-12<x ≤-8，或-4≤x<0}． 24．解下列关于x 的不等式： （1）|ax|<a ；（2）ax-2≤x+b ．24．（1）当a=0时，0<0不成立，原不等式的解集为Ф；当a<0时，不等式的解集也为Ф；当a>0时，不等式即|x|<1，∴解集为{x|-1<x<1}． （2）原不等式即（a-1）x ≤b+2，10当a>1时，a-1>0，∴此时不等式的解集为{x|x ≤12-+a b }，20当a<1时，a-1<0，∴此时不等式的解集为{x|x ≥12-+a b }，30当a=1时，a-1=0，若b ≥-2，则不等式的解集为实数集R ， 若b<-2，则不等式的解集为Ф．25．解不等式|x-1|+|2-x|>3+x ．[解答]当x ≤1时，原不等式化为-(x-1)-(x-2)>3+x ，此时有x<0；当1<x ≤2时，原不等式化为(x-1)-(x-2)>3+x ，此时1<x ≤2，且x<-2不可能； 当x>2时，原不等式化为x-1+x-2>3+x ，此时有x>6；综合上述结果，原不等式的 解集是{x|x<0，或x>6}．26．若关于x 的不等式||1x ax >+的解集是{|0}x x ≤的子集，求实数a 的取值范围．[解答]作出函数||y x =和1y ax =+的草图，由图形特征分析可得所求的a 的取值范围是1a ≥． 27．已知a ∈R ，解关于x 的不等式|(a-3)x-4|>3．[解答]原不等式等价于(a-3)x-4<-3，或(a-3)x-4>3，即(a-3)x<1，或(a-3)x>7；若a-3>0，则x<31-a ，或x>37-a ；若a-3=0，则不等式恒成立； 若a-3<0，则x>31-a ，或x<37-a ；综合知原不等式的解集当a>3时为{x| x<31-a ，或x>37-a }；当a=3时，是R ；当a<3时则为{x| x<37-a ，或x>31-a }．28．已知a b c <<，x ∈R ，若||||||x a x b x c k -+-+->恒成立，求实数k 的取值范围． [解答]设||||y x a x b x c =-+-+-，则当x c ≥时，3()2y x c x b x a x a b c c a b =-+-+-=-++≥--， 当b x c ≤<时，()y c x x b x a x a b c =-+-+-=-+-，此时2c a y c a b -≤<--，当a x b ≤<时，()y c x b x x a x a b c =-+-+-=----， 此时2c a y b c a -<≤+-，当x a <时，3()2y c x b x a x x a b c a b c =-+-+-=-+++>-++，综上[2,)[,2](,2)(2,)y c a b c a c a b c a b c a b c a ∈--+∞----+-+-+∞ ， 化简即得[,)y c a ∈-+∞，欲y k >恒成立，需且只需k c a <-，即k 的取值范围是(,)c a -∞-．29．已知集合A={x||x-22)1a (21|)1a (21-≤+}，B={x|2≤x ≤3a+1}； （1）是否存在实数a ，使得A 是一个单元素的集合？若存在，求出这样的集合A ；若不存在，也请说明理由；（2）若存在实数a ，使得A ⊆B ，试求这样的a 的取值范围．[解答]（1）由|x-2)1a (21+|≤2)1a (21-，可得-2)1a (21-≤x-2)1a (21+≤2)1a (21-， 即A={x|2a ≤x ≤a 2+1}，当且仅当2a=a 2+1时，即a=1时A 是单元素集合；所以这样的实数a 存在，且a=1，此时A={2}；（2）一般地，若A ⊆B ，如图所示，可以直观地得到其充要条件是⎩⎨⎧+≤+≤;1a 31a ,a 222∴1≤a ≤3即为所求的实数a 的取值范围．29题图30．设01a ≤≤，若满足不等式||x a b -<的一切实数x 也满足不等式213||2x a -<，试求实数b 的取值范围．[解答]不等式||x a b -<的解集为{|}A x a b x a b =-<<+， 不等式213||2x a -<的解集为221313{|}22B x a x a =-<<+， 依题意有A B ⊆，∴22132132a b a a b a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，即22132132b a a b a a ⎧≤-++⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，由01a ≤≤，22131322a a a a -+≤-++， 而2213125()0224a a a -+≤-+>，故21302b a a <≤-+．。