含绝对值的不等式的解法
一、 基本解法与思想
解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）公式法：即利用
a x >与a x <的解集求解。
主要知识：
1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;
当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是∅;
3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式
c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;
当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是∅;
[例1] 解不等式32<-x
分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。
答案为
{}51<<-x x 。
[例2] 不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．
分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式． 由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅
答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．
［例3］解不等式2＜｜2x －5｜≤7．
解法1：原不等式等价于⎩
⎨⎧≤->-7|52|2|52|x x ∴⎩⎨⎧≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<>6
12327x x x 或
∴原不等式的解集为｛x ｜－1≤x ＜
23或2
7＜x ≤6｝ 解法2：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．
(Ⅰ)2＜2x －5≤7
(Ⅱ)2＜5－2x ≤7
不等式(Ⅰ)的解集为｛x ｜27＜x ≤6｝，不等式(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜2
3｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或27＜x ≤6｝． [例4] 解关于x 的不等式10832<-+x x
解：原不等式等价于1083102<-+<
-x x ， 即⎩
⎨⎧<-+->-+1083108322x x x x ⇒⎩⎨⎧<<--<->3621x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(---
练习：
（1）
4321x x ->+； （2）4|23|7x <-≤ ；
（3）3529x ≤-<； （4）1|1|3x <+< （5）x x 3102≤- （6） 241<--x 。
解答：（1） ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧><231x x x 或 （2）⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-527212x x x 或 （3）(][)2,14,7- （4）(4,2)(0,2)--（5）{}|25x x ≤≤
（6）{}7315<<-<<-x x x 或
（二）定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
去掉绝对值再解。
[例] 解不等式22
x x x x >++. 分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。
解:原不等式等价于
2
x x +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。
练习: （1）|x ＋2|＞x ＋2的解集是 ； ｛x ｜x ＜－2｝ （2）不等式
x
x x x ->-22的解集是 。
{}02<>x x x 或
（三）平方法:解()()f x g x >型不等式。
[例]、解不等式123x x ->-.
解:原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22
(23)(1)0x x ---< ⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔
423
x <<。
练习：解关于x 的不等式 (1)x x ->+512； (2)212+<-x x ； （3）|2||1|x x -<+
答案：（1） ；（2）)3,31(-
；（3） ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧>21x x 。
（四）分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。
[例1] 解不等式125x x -++<. 分析:由
01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。
2-和1把实数集合分成三个区间，即
2-<x ，12≤≤-x ，1>x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。
解:当x ＜-2时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，
解得：23-<<-x
当-2≤x ≤1时，得21,(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨
--++<⎩， 解得：12≤≤-x 当1>x 时，得1,(1)(2) 5.
x x x >⎧⎨-++<⎩ 解得：21<<x 综上，原不等式的解集为
{}23<<-x x 。
[例2] 解关于x 的不等式1312++<--x x x .
解：当3-<x 时，得⎩
⎨⎧++-<----<1)3()12(3x x x x ，无解 当213≤≤-x ，得⎪⎩
⎪⎨⎧++<---≤≤-13)12(213x x x x ，解得：2143≤<-x 当21>x 时，得⎪⎩
⎪⎨⎧++<-->131221x x x x ，解得：21>x 综上所述，原不等式的解集为43(-，)2
1
练习：1.解不等式：221>-+-x x （答案： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><
2521x a x x 或 ） 2.解不等式：521≥++-x x （答案：),2[]3,(+∞--∞ ）
3. 解不等式：|21||
2|4x x ++-> （答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<121x x x 或
（五）几何法：即转化为几何知识求解。
[例] 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 (
)
(A)k<3 (B)k<-3 (C)k ≤3 (D) k ≤-3 分析:设12y x x =+--，则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <，于是题转化为求y 的最小值。
解:1x +、2x -的几何意义分别为数轴上点x 到-1和2的距离1x +-2x -的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B ）。
练习:
()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ； ()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ； ()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ；
⑴ 3<a ； ⑵ 4>a ； ⑶ 7>a ；
2
x。