3 3 2 2 3 2
= 8a +12ab +6a b+b;
3 2 2 3
( 2) 由差的立方公式得 ; ( 3m-2n )= 27m -54m n+ 36m n -8n;
3 3 2 2 3
( 3) ( a+ 2b +3c )
2
= a+ ( 2b )+ ( 3c )+ 4a b +12b c +6a c
2
2. 和( 差) 的立方公式 ( a ±b ) =a ±3ab + 3a b±b.
3 3 2 2 2 3
可知 ( a -1) ( a+ a+ 1)= 0,
2
3. ( a +b +c )= a +b + c+2( a b + b c + c a ) .
2 2 2
即 a 1= 0, 故 a = 1.
2 2
故原式 = ( x+ 5x +8) ( x+6x + 8)=( x+ 5x + 8) ( x + 2) ( x +4) . 点评 当一个多项式中有 几项相同 可采取换 元 简化 . 换元法是简化式子的常用手段 . ( 2) 原式 =3x+3x + 4x 4
3 2 2 2
=3x( x + 1)+ 4( x +1) ( x -1) =( x + 1) ( 3x + 4x -4)
2
将 6y + 13y -6分解为 (-2y + 3) ( 3y 2) ,
2
x 3y-2 再由十字相乘法得知 : x -2y+3 原式 = ( x +3y 2) ( x 2y +3) . 解法 3 以 y 主元数 , 原式 =6y + ( 13 +x ) y +x + x -6,
2 2
由十字相乘法可知 y+2y 120 =( y + 12) ( y 10) ,故
2 2
令 y =x+x , 则有 y + y -6, 即 ( y +3) ( y 2) ,
2 2
亦即 ( x+x + 3) ( x+ x -2)
2 2
=( x+x + 3) ( x +2) ( x -1) .
2
例 10 分解因式 : ( x+2x ) ( x+ 4x +3)120 =0.
2 2
分析 此式是 4 次式 没 有明 显的 公式 可 套用 , 但可凑出公式 . ( x+2x + 11) ( x+4x + 41)-120,
2 3
分析 常用的方法是将 a 的值求出后再求 a的
3
值 , 但初中所学知识求不出 a , 那么 如何求 a呢 ? 必
3
须把 a表示出来 . 由 已知 不难看 出 a +a+1 正好
3 2
是 a -1 的一个因式 , 即
3 3
a1 =( a1) ( a +a +1) .
3 2
于是 a就表示出来了 . 解 由 a +a +1 =0
3 3 2 2
由十字相乘法易知 ,
· 专题讲座 ·
y+ 3x y + 2x = ( y +x ) ( y +2x ) .
2 2 2 2 2
2008 年第 (
5 期 · 初中版 )
2
35
将 x+ x -6分解为 ( x +3) ( x -2) , -2y x+3 再由十字相乘法可知 3t x-2 故原式可分解为 : (2y +x + 3) ( 3y +x 2) . 【 重难点剖析 】 1. 换元法的技巧 2. 公式的灵活运用 例 7 分解因式 ( x -x 3) ( x-x -5)3.
点评 熟知公 式后 还要 灵活 运用 , 这里 特 别说 明 a =1是正确的 , 由已知 a 是不等 于 1 的 , 这 里不
3
是求 a 而是 求 a, 以后 学了 复数便 知 . a
3 2 3
a+1 分
别是立方和 、差 a ±1的因式 , 以后经常会遇到 . 例 4 分解因式 : x +2x +x + 2.
3 2
点评 当几种基本方法都 不适用时 一般采取 添 折项造出公因式或能分解的 公式从而达 到因式分 解 的目的 . 例 6 分解因式 x +x y 6y +x + 13y 6.
2 2
分析 此式 不易 看出 与所 学公 式相 关 , 若采 用 公式法不便分 解 , 不 妨由 多项 式相 等原 理待 定系 数 设 x+ x y 6y + x + 13y 6= ( x + a y + b ) ( x + c y + d )
2 2 2
=a + 4b +9c + 4a b + 12b c + 6a c ;
2 2
( 4) ( 2x -3y 4z )
2
= 4x + 9y + 16z12x y+ 24y z -16x z .
2 2 2
点评 用公式 计算 时不 要忘 了系 数 ; 交 叉 项的 乘积与该项自身的符号有关 . 例 3 已知 a +a +1 =0, 求 a的值 .
2
( 3) ( a +2b + 3c ); ( 4) ( 2x -3y 4z ).
3
么办呢 ? 可采取换元简化多项式 . 解: ( 1) 令 y = x+ 4x +8, 则原式 = y +3x y +2x
2 2 2 3
解 ( 1) 由和的立方公式得 ( 2a + b )= ( 2a )+ 3× ( 2a )b + 3× 2a · b+ b
2
即 ( x-x 2) ( xx -6)
2 2
=( xx +2007) ( x+ x +1) ;
2 2
=( x + 1) ( x 2) ( x +2) ( x -3) . 点评 换元时常取常数项的中值 . 例 8 分解因式 : ( a+ b ) ( b + c ) ( c + a )+ a b c . 解 令 y= ( a+ b +c ) 原式为 ( y -c ) ( y -a ) ( y b )+a b c = y( a+ b +c ) y+ ( a b + b c +a c ) y
3 3
注 公式的排序特征 ①各 项次数相 等 ②按字 母 顺序升 ( 降) 幂排 列 . 运 用乘 法公式 进行 化简时 , 注 意公式的灵活运用 . 4. 因式分解 是重要 的代 数变形 方法 , 除 初中 所 学提取公因式法和应用公式 法之外还须 掌握十字 相 乘法 、分组分解法 、换元法 、待定系数法等 . 【 例题选讲 】 例 1 化简 : ( 1) x +y +3x y ( x +y ) ; ( 2) m 3 3 3
2 2
即[ ( x + 1) 1] [ ( x +2) 1)-120] .
2 2
解 原式 =( x + 2) x ( x +3) ( x + 1)-120 =( x+3x ) ( x+ 3x +2)120,
2 2
此时可用换元法 令 y =x+3x ,则
2
原式 =y ( y +2)120 y+2y 120,
Hale Waihona Puke + b c y +b d = x +( a+c ) x y + ( a c ) y+ ( d+ b ) x
2 2
解 原式 =x+2x+x + x+ x -6
4 3 2 2
=( x+x ) +x + x -6,
2 2 2
+ ( a d+ b c ) y +b d 故 a+ c = 1, a c =-6, b + d= 1, a d+ b c = 13, b d=-6. 易得 a= 3, c =2, d= 3, b =2或 a=2, d=2, c = b =3. 则原式 = ( x +3y 2) ( x 2y +3) . 点评 此法 叫做 待定 系数 法 , 其 解题 过 程是 先 假定已知多项 式具 有某 种分 解式 , 这个 分解 式中 含 有若干个待定 的字 母系 数 , 然 后应 用多 项式 恒等 的 性质 , 或取多项式中原有的几 个特殊值 , 列得关于 待 定的字母系数 的方 程或 方程 组 , 解 出待 定的 字母 系 数值 . 解法 2 以 x 为主元 , 原式 = x +( y +1) x + (6y + 13y -6) ,
2
=( x + 1) ( 3x 2) ( x +2) ; ( 3) 原式 =x x +2007( x+ x +1)
4 2
解 令 y = xx -4, 则原式为
2 2 y -4 =( y + 2) ( y 2) ,
=x ( x -1)+ 2007( x+x +1)