第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率兀以及含有兀的一些数，女山2-托,3龙等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01-（两个1 Z间依次多1个0）等。

（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。

女山2-兀是无理数（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。

如2兀，（5）开方开不尽的数，女n：V2,75,V9^；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如: 也等;无理数也不一定带根号，女U：兀）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：（1）下列各数：①3. 141 x②0. 33333……、③亦一"、④兀、⑤土血亦、⑥一？、3⑦0. 3030003000003……（相邻两个3 Z间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有_______ ；是无理数的有______o （填序号）（2）有五个数:0・125125・・・，0. 1010010001-,-^-,扬，迈其中无理数有（）个【算术平方根L1.定义：如果一个正数x的平方等于a,即X2=6/,那么，这个正数x就叫做a的算术平方根, 记为：“侖”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。

例如*9,那么9的算术平方根是3,即V9=3o特别规地，0的算术平方根是0,即70=（）,负数没有算术平方根2•算术平方根具有双重非负性：（1）若程有意义，则被开方数a是非负数。

（2）算术平方根本身是非负数。

3•算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根屮正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：石；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：土丽。

例:(1)下列说法正确的是( )A. 1的立方根是±1；B・V4=±2； (C)、屈的平方根是±3；( D)、0没有平方根；(2)下列各式正确的是( )A、V81 = ±9B、|3.14-刘=兀-3」4C、匸壬I = -9心D、75-^3=72(3)/孑的算术平方根是____________ 。

(4)若低+£有意义,则7771= ____________________ o(5)已知AABC的三边分别是a,b,c,且满足V^3+ (/?-4)2 =0,求c的取值范围。

(6)(提高题)如果x、y分别是4一萌的整数部分和小数部分。

求x — y的值.平方根：1・定义：如果一个数x的平方等于且，即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x 是a 的平方(也叫二次方根)，记做：x = ±4a(a>0)2•性质：(1) 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；(2) 0只有一个平方根，它是0本身；(3)负数没有平方根例(1)若仮的平方根是土2,则x二 ________ ；辰的平方根是________ (2)当x ______ 时，』3—2x 有意义。

(3)一个正数的平方根分别是ni和0)-4,则ni的值是多少？这个正数是多少？3.(石)&»())与Q的性质(1) (Va)2=a(a>0)$D^7)2 =7 (2) 4^ =\ a \中,a 可以取任意实数。

如存斗5|=5 A/G3)2 =| -31= 3 例：1.求下列各式的值(1)厅(2) QF (3) (-V49)22._______________________________________________ 已知Ja_i)2之-1，那么a的取值范围是 ______________________________________________________ o3.已知2 < x < 3,化简7(2-x)2 + |x-31= ________ o【立方根】1・定义：一般地，如果以个数x的立方等于a,即疋二a,那么这个数x就叫做3的立方根(也叫做三次方根)记为扬，读作，3次根号a。

如2=8,则2是8的立方根，0的立方根是0。

2•性质：止数的立方根的止数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

立方根是它本身的数有0, 1, -1.例：(1) 64的立方根是 ______________________________ (2)若扬= 2.89,炕二28.9,则b等于______________________(3)下列说法中：①土3都是27的立方根，②疔二y,③阿的立方根是2,④佢疗=±4。

其中正确的有( ) A、1个B、2个C、3个D、4个比较两个数的大小：方法一：估算法。

如3<師<4 方法二作差法。

如a>b则a-b>0.方法三：乘方法•如比较2拆与3巧的大小。

例：比较下列两数的大小(1)些与* ⑵5血与3腭【实数】定义：(1)有理数与无理数统称为实数。

在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。

(2)实数也可以分为正实数、0负实数。

实数的性质：实数a的相反数是弋；实数a的倒数是丄(a^O)；实数a的绝对值|a|=?(a-0), a［一a(ci <0)它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0, 0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。

(在数轴上，右边的数总是大于左边的数)。

对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

实数的运算：在实数范圉内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。

运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的(1)每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。

(2)数轴上的每个点都表示已个实数。

例:(1)下列说法正确的是( )；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C 、1和2Z 间的无理数只有血； 【)、不带根号的数都是有理数。

(2) a, b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()abA 、Qa _b B> 4abC> Ja + bD 、Qb -a(3)比较大小(填 或 “<” )•3 J10,—V3 V20, 7A /66V7 ,V5-1 21 —92(4)数-^7,-2,-3的大小关系是( )A. -^7<-3<-2B ・ 一3<一"<一2C ・-2< -^<-3D ・ -3<-2<-77(5 ) 将下列 各数：2,8,A /3,—1 — V5,用“ <” 连接起来；(6)若问=3,丽=2, JI ab <0 ,贝 Q ： a-b- _____________ 。

【二次根式】定义：形如V^(67>0)的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数注意：(1)从形式上看二次根式必须有二次根号“7"”，如蔚是二次根式，而V9=3,3显然就不 是二次根式。

(2)被开方数a 可以是数，也可以是代数式。

若a 是数，则这个数必须是非负数；若a 是代 数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。

例：下列根式是否为二次根式性质1： ^b = ^4b(a>0.b>0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。

性质2：= 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。

最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做(1) 口二次根式的性质:(2) 71-31(4)最简二次根式。

V 1_1273•已知：（—7）2 =121,© + 1）3 =-0.064,求代数式 V7刁-厶+10歹+前245丁 的值。

6. （提高题）观察下列等式：回答问题：①Z+A+需 4 ②』+£+*“+齐订rd（1） 根据上面三个等式的信息，请猜想卜暫可的结果；（2） 请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。

课后练习一、重点考查题型：1. —1的相反数的倒数是 __________2.已知I a+3|-H\/b+l =0,则实数（a+b ）的相反数3•数一3・14与一刀的大小关系是 _________ 4•和数轴上的点成一一对应关系的是 ____ 5. 和数轴上表示数一3的点A 距离等于2. 5的B 所表示的数是 _____________ 26. 在实数屮JI, —- , 0, y[3 , —3. 14,、月无理数有 __________ 个7. 一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）（A ）非负数 （B ）非止数 （C ）负数 （D ）正数 8. 若 x<-3,贝U I x + 3 I = _______ o例：1・化简:(1) 712x15 (2) J27a 4戻 Q0)2.计算:VO. 125 -9.下列说法正确是（）10. 实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小:⑴ c-b 和 d-aI I ■ I I(2) be 和 ad二、考点训练：*1・判断题：(1) 如果a 为实数，那么一3—定是负数；() (2) 对于任何实数a 与b, |a —b| = |b —a|fn 成立；() (3) 两个无理数之和一定是无理数；() (4) 两个无理数之积不一定是无理数；() (5) 任何有理数都有倒数；() (6) 最小的负数是一1；()(7) a 的相反数的绝对值是它本身；() (8) 若|韵二2, |b|二3 且 ab>0,则 a-b=-l ；() 2. 把下列各数分别填入相应的集合里22 ——31 , 21. 3, — 1. 234, ~~ ,0,负分数集合｛ 非负数集合｛*3.已知 l<x<2,贝I 」X —3 &(1 -X )' = ________ o4. 下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？—3, ^2 — 1,3,— 0. 3,31 -+^2 ,3§互为相反数： _____ 互为倒数： ______ 互为负倒数： ________*5.已知x 、y 是实数，且(X —^2 ) $和I y +2 |互为相反数，求x6. a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2,ctg45° , 1. 2121121112 .............. 中无理数集合{ } 整数集合{}} , (y/2 -y[3 )°, 3-2,} },y 的值三、解题指导:4.如果。