23
【解】 (1)1 名女生，4 名男生，故共有 C51·C48＝350(种)． (2)将两名队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C22·C311＝165(种)． (3)方法一：至少有 1 名队长含有两类：只有 1 名队长；2 名队长，故共有选 法 C12·C411＋C22·C131＝825(种)． 方法二：采用间接法共有 C513－C511＝825(种)． (4)至多有 2 名女生含有三类：有 2 名女生；只有 1 名女生；没有女生． 故选法共有 C25·C38＋C15·C84＋C85＝966(种)． (5)分类：第 1 类，女队长当选：C142种；第 2 类，女队长不当选：C14·C37＋C24·C72 ＋C34·C17＋C44种．故选法共有 C412＋C41·C37＋C24·C27＋C43·C17＋C44＝790(种)．
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9．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子； (2)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3)6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．
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【解】 (1)每个小球都有 4 种方法，根据分步计数原理共有 46＝4 096 种不 同放法．
(2)分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入盒中，共有 C36·C14·A33＋C26·C42·A24＝1 500(种)不同放法．
(3)法一 按 3,1,1,1 放入有 C41种方法，按 2,2,1,1，放入有 C42种方法，共有 C14＋C24＝10(种)不同放法．
【解析】 若用三种颜色，有 C15A43种染法，若用四种颜色，有 5·A44种染法， 则不同的染色方法有 C15A43＋5·A44＝240(种)．
【答案】 240
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6
方法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素．
若丙站在排头或排尾有 2A55种方法，所以丙不能站在排头 和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960 种方法．
方法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的四个位置选择共有 A14种方法．
电视机各 1 台，则不同的取法共有( )
A．140 种
B．84 种
C．70 种
D．35 种
【解析】 可分两类：第一类甲型 1 台、乙型 2 台，有 C14·C25＝4×10＝40(种) 取法，第二类甲型 2 台、乙型 1 台，有 C24·C15＝6×5＝30(种)取法，共有 70 种不 同的取法．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【答案】 C
C．1,3,5
D．3,5
【解析】 依题意，有 x2－x＝5x－5 或 x2－x＋5x－5＝16.解得 x＝1 或 x＝5；x ＝－7 或 x＝3，经检验知，只有 x＝1 或 x＝3 符合题意．
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5．C03＋C14＋C25＋…＋C1281的值等于________． 【解析】 原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1281＝C15＋C52＋…＋C1281＝C1271＋C1281＝C1282 ＝C422＝7 315. 【答案】 7 315
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【讲评】 涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排 法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为 元素分析法或位置分析法)．
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题型三 组合应用题
例3 某市工商局对35件商品进行抽样调查，已知其中有15件假 货．现从35件商品中选取3件．
(1)其中某一件假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一件假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2件假货在内，不同的取法有多少种？
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将 甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A14A55A22＝960 种方法．
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(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
从 6 名女生中选出 2 名且与已选好的男生配对，有 A62种．故有 C52A26种．
【答案】 B
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8．课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定 一名队长，现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有 1 名女生当选； (2)两名队长当选； (3)至少有 1 名队长当选； (4)至多有 2 名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选．
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1．已知圆上有 9 个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所
有线段在圆内的交点有( )
A．36 个
B．72 个
C．63 个
D．126 个
【解析】 此题可化归为圆上 9 个点可组成多少个四边形，所有四边形的对
角线交点个数即为所求，所以交点为 C49＝126 个． 【答案】 D
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2．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型和乙型
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(3)从 20 件真货中选取 1 件，从 15 件假货中选取 2 件有 C120C215＝2 100 种．
∴恰有 2 件假货在内的不同的取法有 2 100 种． (4)选取 2 件假货有 C120C215种，选取 3 件假货有 C315种，共 有选取方式 C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555 种． ∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种． (5)选取 3 件的总数有 C335种，因此共有选取方式 C335－C315＝6 545－455＝6 090 种． ∴至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种．
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(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有： 先将其余四个同学排好有 A44种方法，此时他们留下五个 “空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有 A35种方法，所以一共有 A44A35＝1 440 种． (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有： 7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A55A33＝720 种． 故共有 A77－A55A33＝4 320 种不同的排法．
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(5)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与 其余的 5 个元素(同学)一起进行全排列有 A66种方法；再将甲、 乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法，所以这样的排法 一共有 A66A22＝1 440 种．
5
(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾 的排法有：
方法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A25 种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44种方法；最后将 甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法，所以这样的 排法一共有 A25A44A22＝960 种方法．
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3．(2015·青岛高二检测)将标号为 1,2，…，10 的 10 个球放入标号为 1,2，…，
10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不
一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
【解析】 先选出 3 个球有 C310＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2
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(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法：先排甲、乙、丙之 外的 4 人，共有 A44种排法，产生 5 个“空”再将甲乙(视为一 个元素)与丙排入有 A25种，再将甲、乙全排，有 A22，∴共有 A22A44A25＝960 种．
(11)(消序法)共有A277种． 【答案】 (1)A77 (2)A66 (3)A25A55 (4)3 720 (5)1 440 (6)960 (7)3 600 (8)1 440 (9)4 320 (10)960 (11)12A77
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2．2C11 000067的值为( ) A．1 006 B．1 007 C．2 012 D．2 014 【解析】 利用组合数的性质得 2C11 000067＝2C11 007＝2 014. 【答案】 D
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4．满足方程 Cx2－x16＝C51x6－5的 x 值为( )
A．1,3,5，－7
B．1,3
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【解析】 (1)站成两排(前 3 后 4)，共有 A77种不同的排 法；
(2)其中甲站在中间的位置，共有 A66种不同的排法； (3)甲、乙只能站在两端的排法共有 A22A55种；
3
(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有： 方法一：甲站排尾；共有 A66种不同的排法； 甲不站排尾，共有 A15A15A55种不同的排法； 故共有 A66＋A15A15A55＝3 720 种不同的排法； 方法二：7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲排头，共有 A66种不同的排法； 乙排尾，共有 A66种不同的排法； 甲排头且乙排尾，共有 A55种不同的排法； 故共有 A77－2A66＋A55＝3 720 种不同的排法．
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(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？ 【思路】 本题是有关排列的一道综合题目，小题比较多，包括排 列中的各种方法和技巧，请同学们认真思考．