计数原理与排列组合题型解题方法总结
计数原理
一、知识精讲
1、分类计数原理：
2、分步计数原理：
特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。
不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。
分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类）
如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。
各步骤有先后，相互依存，缺一不可。
3、排列
(1)排列定义,排列数
(2)排列数公式:
(3)全排列列:
4.组合
(1)组合的定义,排列与组合的区别;
(2)组合数公式:
(3)组合数的性质
二、.典例解析
题型1:计数原理
例1.完成下列选择题与填空题
(1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。
A.81
B.64
C.24
D.4
(2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( )
A.81
B.64
C.24
D.4
(3)有四位学生参加三项不同的竞赛,
①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有;
②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;
③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。
例2（1）如图为一电路图，从A 到B 共有 条不同的线路可通电。
例3: 把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？
例4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答)
例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，问共有多少种不同的取法？
例6、（1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?
（2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是
D
A
题型2:排列、组合问题处理策略
一.元素个数较少的排列组合问题枚举法:
1、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
2、学号为1、2、
3、4的学生坐到编号为1、2、3、4的四张凳子上，要求学生的学号与其所坐的凳子编号不同，问有多少种不同的坐法？
二、特殊元素和特殊位置优先策略
3、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
4、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有( ）
A．120种B．96种C．78种D．72种
三、相邻捆绑、不相邻插空
5、（1）7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
（2）7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？
6、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？
7、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
8、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种？
四、不尽相异元素、定序问题倍缩法
9、（1）7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
（2）10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
（3）由4个A和3个B可以组成多少个7位字符信息？
五、分排问题“直排法”
10、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？
11、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法
六、重排问题方幂策略（住店、投邮、影射）
12、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
13、某8层大楼从一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,则他们下电梯的方法有多少种？
七.构造模型的策略
14、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法？
15、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？
八、排列组合混合问题先选后排策略
16、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
17、一个班有6名战士,其中正副班长各1人，现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________ 种
九、.正难则反总体淘汰策略
18、我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
十、无编号平均分组问题除法策略
19、6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
20、10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法
21、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为
十一化归策略
22、25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
23、某城市的街区由4 5条街道组成，从西南A走到东北B的最短路径有多少种？
三、练习题组：
1、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
2、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
3.(1)在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有( ）
(A)36个(B)24个(C)18个(D)6个
(2)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( )
(A)108种(B)186种(C)216种(D)270种
(3)在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )
A.6
B. 12
C. 18
D. 24
(4)高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )
(A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)5040
4.(1)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有个(用数字作答);
(2)电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示).
5.(1)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配
方案有( )
(A)30种(B)90种(C)180种(D)270种
(2)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种
B.20种
C.36种
D.52种
6.(1)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有种;
(2)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有
(A)150种(B)180种(C)200种(D)280种
7、.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数
8、甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项工程，乙公司承包1项，丙、丁各承包2项，问共有种承包方式？
9、停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
10、x+y+z+w=100求这个方程组的正整数解的组数
11、.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2，3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法
12、.正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
13、3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？14．（2008陕西，16）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成。
如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种（用数字作答）。
15.（2009年海南宁夏15）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有种（用数字作答）.
16、（2008宁夏、海南，9）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志
愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。
不同的安排方法共有（）
A．20种B．30种
C．40种D．60种。