取在BZ中分布比较均匀的M个q k，计算相应的k q k ，每个q k及k代表它
们附近的 q
b M
个模式。把整个频率区间分成P个等长区间i, i

1，统
计M个k在这些区间的分布Mi，于是有
Ni ≈ Mi ∗ q
b M
≈ gi ∗
gi ∗
准确积分值
Sm
42 2m12

fqx, qy dqxdqy 657. 874217282883
− −
∑ ∑ m m
f
k−m l−m
2∗k 2m1
,
2∗l 2m1
列表如下
m
Sm
相对误差
0 801. 3243588 22% 1 653. 0405273 −7 ∗ 10−3 2 657. 9654861 1. 4 ∗ 10−4 3 657. 8765141 3. 5 ∗ 10−6 4 657. 8739040 −4. 8 ∗ 10−7 5 657. 8742193 3. 1 ∗ 10−9
hgd
0
dN
q d3 q gd
BZ, q ∈,d
定义了（频域）模式密度g。 如何计算g？
g
V 83
dS ∇q q
缺点：没有实际用途，因为频谱全体 q 不可计算，只能对指定的任意有限个
q k计算相应的 q k 。 改进：回到模式密度g的原始定义dN gd
BZ
难点：除非知道f q 的解析表达式，否则不可能严格算出A0
解决方法：找M适当的个q k，使得对尽可能多的不太大的 l ≠ 0都有
∑M exp iq k l 0，于是
k1
∑M
f qk
k1
∑ A l ∑M exp iq l
l
k1
∑ MA0
AlSl
l 较大
0，
由于随着 l 的增大傅立叶系数A l 会比较快地趋于零，
≈
N
Mi M
N是晶体原胞数。 优点：无需知道频谱全体 q 即可较精确地计算近似的模式密度g
缺点：需要计算大量的数值点才能得到好的结果。
方法二：定义模式密度的主要目的是为了计算∑ f q ，应该回归本源，直接从
BZ
求和式本身着手。 由于f q 是q的周期函数，因此可以把它写成傅立叶级数
f q ∑ A exp iq l l l
k−m
2∗k Ma
na
0。如Βιβλιοθήκη M2m是偶数，则qk

∗2k−1 ，
Ma
k −m, … , m − 1这M − 2个qk使得对所有的非M整数倍的
Sna

∑m−1
exp
k−m
i
∗2k1 Ma
na
0。
例：函数fqx, qy 112 131 sin2qx 300 cos4qy ，
一般来说随着 l 的增大傅立叶系数A l 会比较快地趋于零。
∑f q
BZ
∑ ∑ A l exp iq l
BZ l
∑ A l ∑ exp iq l
l
BZ
容易证明，当 l 0时∑ exp q l N，且 l ≠ 0时∑ exp iq l
BZ
BZ
于是
∑ f q NA0
布里渊区求和、模式密度 在固体物理中经常遇到需要对所有的晶体运动模式的某个物理量求和，由于晶体 的微观平移对称性，晶体的基本运动模式都可以用布里渊区BZ内均匀分布的波矢量
q标记，相应的物理量都可以写成f q 形式，且f q G f q 。
如何求这些物理量∑ f q f q q d3 q ？
BZ
BZ
方法一：许多物理量f仅仅通过f q h q 间接地依赖于q, 因此积分或者
求和时可以先把频率 q ∈ , d之间的q找出来完成积分，然后再对积
分，这就导出了（频域）模式密度的概念，
通过等式
hq BZ
q d3 q h
q d3q
BZ, q ∈,d
S ∑M exp iq l
l
k1

M，因此
N M
∑M f
k1
qk
可以作为∑ f
BZ
q
NA0的
一个较好的近似。
如何选取有这种良好性质的q k？以一维晶体为例，如果M 2m 1是奇数，则
qk
2∗k Ma
，k

−m, … , m这M个qk使得对所有的非M整数倍的
Sna

∑m expi