§5.5 布里渊区
本节我们举例说明二维和三维晶格的布里渊区。

一、二维正方格子
正格子原胞基矢 a a a a == 2,
1； 倒格子原胞基矢 a
b a b π=π=22,21 。

如图5.10所示，倒格子空间离原点最近的倒格点
有四个，相应的倒格矢为
b b b b 2,
2,1,1--， 它们的垂直平分线的坐标是 a
k x π±= 及 a k y π±= 这些垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区。

它也是一个正方形，其中一些特殊点和线有惯用的符号表示，
中心：Γ； 边界线中心：X ； 角顶点：M; ΓX 线：∆; ΓM 线：∑。

离Γ点次近邻的四个倒格点相应的倒格矢是
b b b b b b b b 21,21),2(1,21+--+-+
它们的垂直平分线，同第一布里渊区边界围成的区域合起来成为第二布里渊区，这个区的各部分别平移一个倒格矢，可以同第一个区重合。

同理可得第三，第四，……，一系列布里渊区。

二、体心立方格子
正基矢 )(2
1k j i a a ++-=， )(2
2a a +-= ， )(2
3a a -+= 。

可证倒基矢 )(21k j a
b +π= ， )(22k i a
b +π= ， )(23i j a
b +π= 。

（习题：证明bc
c 的倒格子是fcc 。

）
倒格矢：
图
5.10
])21()31()32[(2332211k n n j n n i n n a
b n b n b n G n +++++π=++= 离原点最近的有12个倒格点，其坐标可一般地写为
)2
1,31,32(2n n n n n n a +++π. 具体写出是
)0,1,1(2a π， )0,1,1(2a
π )0,1,1(2a π， )0,1,1(2a
π )1,0,1(2a π， )1,0,1(2a
π )1,0,1(2a π， )1,0,1(2a
π )1,1,0(2a π， )1,1,0(2a
π )1,1,0(2a π， )1,1,0(2a
π 相应的倒格矢长度为 π=22),,(321a
n n n G 这12个倒格矢的中垂线围成菱形正面体，称为简约布里渊区，如图5.11所示，其体积正好是倒格子原胞的大小。

简约区中的高对称点和线（如图5.11）：
（点）)0,0,0(2:a πΓ；)0,0,1(2:a H π；)21,21,21(2:a P π；)0,2
1,21(2:a N π； （线）)10(),0,0,(2:<δ<δπ∆a
，
图5.11
)2
10(),0,,(2:<σ<σσπ∑a ， )210(),,,(2:
<λ<λλλπΛa 。

三、面心立方格子
正基矢 )(21k j a a += ；)(22k i a a += ；)(2
3j i a a += ， 倒基矢 )(21a b ++-=
π ；)(22a b +-=π ；)(23a b -+=π ， 倒格矢 ])321()321()321[(2332211k n n n j n n n i n n n a
b n b n b n G n -+++-+++-π=++=其倒格子是bc
c ，配为数为8，离原点最近的8个倒格点的坐标是：
)1,1,1(2a π，)1,1,1(2a
π， )1,1,1(2a π，)1,1,1(2a
π， )1,1,1(2a π，)1,1,1(2a
π， )1,1,1(2a π，)1,1,1(2a
π， 他们的中垂面围成一个正八面体，其体积比倒格子原胞的体积大，为构造简约布里渊区，需再考虑6个次近邻倒格点；
)0,0,2(2±πa ，)0,2,0(2±πa ，)2,0,0(2±πa
， 他们相应的倒格矢的中垂面截去八面体的六个顶角，形成截角八面体（truncated octahedron ）,它是一个十四面体，这个十四面体的体积正好等于原胞体积，称为fcc 的第一布里渊区，如图5.12所示。

布里渊区中一些对称点和线的惯用符号（如图5.12）：
（点）)0,0,0(2:a πΓ；)0,0,1(2:a X π；)0,43,43(2:a K π；)2
1,21,21(2:a L π；
图5.12
（线）)10(),0,0,(2:<δ<δπ∆a
， )2
10(),0,,(2:<σ<σσπ∑a ， )210(),,,(2:
<λ<λλλπΛa 。

四、高布里渊区
图5.13示出了bcc 和fcc 晶格第一，第二，第三布里渊区的形状。

图5.13。