稳定的必要条件：特征方程所有项系数同号且不为0。 稳定的充分条件：Routh表中第一列元素均大于零。 S5 S4 S3 a5 a4
a a a5a 2 b1 4 3 a4
b a a 4b 2 c1 1 2 b1 c b c 2b1 d1 1 2 c1
注 意 解 题 技 巧
结论：出现全为0的行，系统不稳定。
3 (4 ) (s2 2 s 1 )(s 2 s2 s 1 ) 0
结论：第一列全为正，系统稳定。 返回推广
S6 S5 S4 S3 S2 S1 S0
1
2(1) 2(1) 0(1) 3
8
12 (6) 12 (6) 0(3) 8
20
16(8) 16(8)
16
s 4 6s2 8 0 4s3 12s 0 s 3 3s 0
1/3
8
代数稳定判据的推广
低阶系统稳定性的简单判别 不稳定系统特征根的分布 简单系统稳定性的设计 设计具有一定稳定裕量的控制系统 系统参数对稳定性的影响

低阶系统稳定性的简单判别
第三章 时域分析法
第一节 第二节 第三节 第四节
(本章五次课)
控制系统的典型输入信号和性能指标 稳定性分析 （练习一） 稳态性能分析 （练习二） 动态性能分析 （练习三）
单元内容总结
控制系统的典型输入信号 和系统性能指标
一、系统性能分析的思路
人为破坏系统的平衡状态（施加扰动），考查系统是否具有重新恢 复平衡状态的能力及水平。
3 (1 ) D (s) 3 s4 1 0 s 6 s2 4 0 s 9 0
结论：第一列出现负数，系统不稳定。
(2 ) s 3 2 s2 s 2 0
s 4 2 s3 s 2 2 s 1 0
结论：第一列出现0，系统不稳定。
3 2 (3 ) D (s) s 6 2 s5 8 s4 1 2 s 20s 1 6 s 1 6 0

ROUTH表中第一列元素符号翻转次数为系统在右平面特征根的数；

ROUTH表中第一列出现零元素，可用无穷小量替代零完成表的列写。 再对各待定元素求无穷小量的极值。此时，第一列元素符号翻转的次 数仍然为特征根在右半平面的个数。 ROUTH表中在k+1行出现全零元素，由k行元素构造辅助方程，辅助 方程的次数为K，为系统对称于原点特征根的个数。对辅助方程求导， 导数方程对应项系数分别代替零元素，并完成全零行以下表的列写。 此时，全零行以下第一列元素符号翻转的次数为K个特征根中在右半 平面的个数L。若全部大于零，则必有共轭根在虚轴上。 虚轴上根 的个数为： J=K-2L。
c()

tr
tp
ts
t
第二节 稳定性分析
一、稳定性的概念 二、稳定的条件 三、代数稳定判据 四、代数稳定判据的推广 课后练习一
稳定性的概念
定义：给定值变化测量值具有跟踪给定值的能力；干扰 作用破坏系统的平衡，但具有抗拒干扰重新回到平衡状 态的能力。

无条件稳定（大范围稳定） 条件稳定（局部稳定） 线性系统若稳定，则为大范围稳定系统
二、典型输入信号
阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、脉冲函数、正弦函数。
三、系统的时域性能指标

动态性能指标
上升时间tr ；峰值时间tp ；调节时间ts ；超调量
σ% c (t p ) c () c () 1 0 0 %

稳态性能指标：稳态误差ess
n(t)
F (t )
k
r(t)
控制系统模型
大范围稳定特征
稳定性与初始条件无关； 与输入信号无关。
F(t) 大范围稳定
局部稳定
系统产生运动的原因：扰动（外力）；初始状态（偏离平衡点）
稳定的条件
(t ) c (t ) r(t ), r(t ) δ (t ) 1 . Tc C (s ) 1 1 C (s ) R (s ) Ts 1 Ts 1
1 t 1 c (t ) e T
存在的问题及解决的方法
稳定性是系统去掉外力作用后自身的一种恢复能力。基于系统的 数学模型，求解研究运动特性，并由此引出系统稳定的充要条件。
0 l i m c (t ) t
T
(t 0 )
特 征 方 程 Ts 1 0 特 征 根 s (t ) 2c (t ) 5 c (t ) 2. c r(t ), r(t ) δ (t ) C (s ) 1 R (s ) (s 1 )2 2 2 C (s ) 1
c(t)
f
m
y (t )
r(t) c(t) t F(t)
y(t)
t
过程控制系统的性能
物体运动过程的性能
r(t)=1(t)
t r(t)=kt · 1(t)
t
t r(t)=o.5t 2· 1(t) r(t)= (t)
t
%
c(t p ) c() c()
100%
r(t) c(t)
c (t p )
一阶系统 a1s a 0 0 稳定条件：所有项系数大于零。

2 a s a1s a0 0 二阶系统 2
稳定条件：所有项系数大于零。
3 2 a s a s a1s a0 0 三阶系统 3 2
稳定条件：所有项系数大于零。内项系数乘积大 于外项系数乘积。
不稳定系统特征根的分布
应用举例
n n1 解题依据：a s a s a1s a0 0 n n1
a3 a2
a a a5a0 b2 4 1 a4
a1 a0 0
S2
S1 S0
c 2 a0
d2 0
e1 a 0
a5s5 a 4s 4 a3s3 a2s 2 a1s a0
1 T c (t ) e t s i n 2 t (t 0 ) 0 l i m c (t ) t
(s 1 )2 2 2
特 征 方 程 (s 1 )2 2 2 0 特 征 根 s1, 2 1 j 2
线性定常系统稳定的充要条件：系统特征方程的所有 根为负实数或具有负实部的共轭复数，即所有特征根位于 复平面的左半面。