实验二 线性定常系统的瞬态响应与稳定性分析例1系统传递函数为4324327182313()5972s G s s ss s s s s ++++=++++，求系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应解析表达式。

（1） 求脉冲响应解析表达式，输入以下程序： num=[1 7 18 23 13]; den=[1 5 9 7 2]; G=tf(num,den); Impulse(G)[k,p,r]=residue(num,den); %应用MATLAB 求传递函数的留数 k=k',p=p',r=r'解得：k = 1.0000 1.0000 2.0000 2.0000 p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 r = 1根据k 、p 、r 的值可以写出脉冲响应C(S)的部分分式2(0.5s+1)(s)=(s+1)(0.5s +s+1)K G s 经拉普拉斯反变换有：-2t -t -t -t (t)=e +e +2te +t2e +(t)c δ 脉冲响应曲线：5101500.20.40.60.811.21.41.61.82Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e（2） 求单位阶跃响应的解析表达式由于单位阶跃响应解析(s)=G(s)/s Y ，只要将G(s)的分母多项式乘以s ，即分母多项式的系数向量den 增加一个零，然后使用上述求脉冲响应的方法。

程序如下：num=[1 7 18 23 13]; den=[1 5 9 7 2]; G=tf(num,den); step(G)[k,p,r]=residue(num,[den,0]); k=k',p=p',r=r' 运行结果：k = -0.5000 -5.0000 -4.0000 -2.0000 6.5000 p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 0 r = []根据k 、p 、r,可以直接写出系统的阶跃响应为-2t -t -t 2-t (t)=-0.5e -5e -4te -t e +6.5c 阶跃响应曲线：0510151234567Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e思考题：（1） 观察运行结果，在运用留数定理分解传递函数的过程中k 、p 、r 分别代表什么？（2） 观察系统的阶跃响应曲线，推算该系的阻尼比的取值范围。

例2传递函数3215()61320G s s ss =+++，使用MATLAB 语句求系统()G s 的静态放大倍数、自然振荡频率和阻尼比。

G=tf([15],[1 6 13 20]);[wn,ksai,p]=damp(G); k=dcgain(G);k,wn=wn',ksai=ksai',p=p'运行结果： k = 0.7500 %静态系数wn = 2.2361 2.2361 4.0000 %自然振荡频率 ksai = 0.4472 0.4472 1.0000 %阻尼比 p = -1.0000 - 2.0000i -1.0000 + 2.0000i -4.0000 %极点例3：系统的传递函数为543232()312203525s G s s ss s s +=+++++，判断系统的稳定性。

采用观察极点实部正负的方法判定系统的稳定性程序：den=[1 3 12 20 35 25];r=roots(den)运行结果： r =0.0000 + 2.2361i 0.0000 - 2.2361i -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i -1.0000思考题：本题的运行结果说明了系统稳定还是不稳定？例4、已知单位负反馈系统的传递函数为：2(0.5s+1)(s)=(s+1)(0.5s +s+1)K G s 是确定系统稳定时的K 值的范围。

程序如下：K=[0.2 0.7 1.2 1.7] t=0:0.01:40; for i=1:4 k=K(i);numg=[0.5*k];deng=[0.5 1.5 2 1 0]; numh=[1]; denh=[1];[num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh); sys=tf(num,den) step(sys,t); hold on grid on endlegend('k=0.2','k=0.7','k=1.2','k=1.7')51015202530354000.20.40.60.811.21.41.61.8Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e思考题：K 取何值时，系统的稳定性比较好？例5闭环系统的开环传递函数243226()210s G s sss s++=++，求静态误差系数pk、vk、ak程序如下G=tf([1 2 6],[1 2 10 0 0]); sG=tf([1 2 6 0],[1 2 10 0 0]); ssG=tf([1 2 6 0 0],[1 2 10 0 0]);kp=dcgain(G),kv=dcgain(sG),ka=dcgain(ssG)运行结果： kp = Inf kv = Inf ka =0.6000系统的静态误差系数pk=∞、v k =∞、0.6a k =实验三 控制系统的频率特性例1已知系统开环传递函数为2()()(0.5)(0.610)G s H s s s s k s *=+++，绘制系统根轨迹，并求出闭环系统临界稳定时的根轨迹增益值。

程序如下：num=1;den=conv([1 0],conv([1 0.5],[1 0.6 10])); rlocus(num,den) %绘制根轨迹图[K,poles]=rlocfind(num,den) %在窗口中出现十字光标，在表示阻尼比为0.7的那根线附近附近略微偏下处点击鼠标左键。

运行结果：根轨迹图：-8-6-4-202468-8-6-4-22468Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s得出的结果存在误差，非一定的。

Select a point in the graphics window selected_point = 0.0190 - 2.1118i K = 26.2380 poles =-0.5564 + 2.3335i -0.5564 - 2.3335i 0.0064 + 2.1352i 0.0064 - 2.1352i例2 已知系统开环传递函数为()()(1)(1)G s H s s s s k*=++，绘制系统根轨迹，并且确定阻尼比0.7ζ=时，闭环极点的位置及相应的根轨迹增益。

程序如下： num=1;den=conv([1 0],[1 2 1]); rlocus(num,den) grid[K,P]=rlocfind(num,den)运行结果：-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50.51-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s和上题一样，由于手动移动鼠标，不确定 Select a point in the graphics window selected_point = -0.3063 + 0.2717i K = 0.2273P = -1.4026 -0.2987 + 0.2698i -0.2987 - 0.2698i例3设单位负反馈系统的开环传递函数为4()(1)(2)G s s s =++，利用MATLAB 软件绘制其开环幅相曲线。

程序： num=4;den=[1,3,2];nyquist(num,den) 运行结果：-1-0.500.51 1.52Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i s思考题：该系统的nyquist 曲线反映出该系统的哪些信息？例4已知一系统的开环传递函数2322()586s s G s s s s +-=+++试完成以下任务： （1）求其零极点增益形式并绘制出零极点分布图。

（2）绘制出系统的nuquist 图 （3）绘制出系统的bode 图 程序：num=[1 1 -2;]; den=[1 5 8 6];G1=tf(num,den) %建立传递函数[z,p,k]=tf2zp(num,den); %求出零点、极点、增益z=z' p=p' kg2=zpk(z,p,k) %传递函数的零极点增益形式 pzmap(G1) %画出零极点分布图 figure nyquist(G1) %绘制出nyquiset 图figuremargin(G) %绘制bode 图运行结果：P ole-Zero MapReal AxisI m a g i n a r y A x i s-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51-1.5-1-0.50.511.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i sM a g n i t u d e (d B )10-210-110101102P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = 9.54 dB (at 0 rad/sec) , P m = InfFrequency (rad/sec)思考题;试从该系统的bode 图判断该系统是否稳定？例5设单位负反馈系统的开环传递函数为4()(1)(2)G s s s s =++，利用MA TLAB 软件绘制其开环对数频率特性曲线、尼柯尔斯曲线，计算稳定裕度。

程序：n=[4];d=[1 3 2 0]; margin(n,d); grid n=[4];d=[1 3 2 0]; ngrid('new'); nichols(n,d)绘制bode 图：M a g n i t u d e (d B )10-210-110101102P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = 3.52 dB (at 1.41 rad/sec) , P m = 11.4 deg (at 1.14 rad/sec)Frequency (rad/sec)稳定裕度如图所示为：相角交界频率 1.41/grad s w=，幅值裕度 3.52h dB =，开环截止频率 1.14/c rad s w =，相角裕度11.4γ︒=。