2
y
E
EI z
M = ρ EI z
1
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
M = ρ EI z y σ =E
1

ρ
My σ= Iz
弯曲正应力的 一般计算公式
注意 此公式虽然在纯弯曲情况下推导出来的， 此公式虽然在纯弯曲情况下推导出来的，但对于 工程中许多剪切弯曲的情况也适用 剪切弯曲的情况也适用； 工程中许多剪切弯曲的情况也适用； 分析表明，对于梁的长度l 远大于其截面高度h的 分析表明，对于梁的长度 远大于其截面高度 的 细长梁，该式计算弯曲正应力 相当精确的 弯曲正应力是 细长梁，该式计算弯曲正应力是相当精确的。工 程中对于l 的情形，往往采用该式计算剪切弯 程中对于 > 5h 的情形，往往采用该式计算剪切弯 时的正应力 正应力。 曲时的正应力。
dI y = z 2 dA
微元对y轴的惯性矩 微元对 轴的惯性矩
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
dI z = y dA
2
微元对z轴的惯性矩 微元对 轴的惯性矩
dI y = z dA
2
微元对y轴的惯性矩 微元对 轴的惯性矩
上式对整个截面积分，得截面对z轴、y轴的惯性矩。 轴的惯性矩。 上式对整个截面积分，得截面对 轴 轴的惯性矩
M max y2 σ = Iz M max y1 − σ max = Iz
+ max
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 二、正应力强度条件 正应力强度条件：为了保证梁安全地工作， 正应力强度条件：为了保证梁安全地工作，危险 处的正应力必须小于梁的弯曲许用应力 。 正应力必须小于梁的弯曲许用应力[ 点处的正应力必须小于梁的弯曲许用应力 σ ]。
2）弯曲正应力强度条件 ）
M max σ max = ≤ [σ ] Wz 查附表4 查附表 M max 45×103 3 3 Wz ≥ = m = 264.7cm 选22a工字钢 6 工字钢 [σ ] 170×10
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 形截面外伸梁， 例7-10 T形截面外伸梁，载荷及尺寸如图所示， 形截面外伸梁 载荷及尺寸如图所示， 已知截面的中性轴为z轴 轴到上 轴到上、 已知截面的中性轴为 轴，z轴到上、下边缘的距离分 别为y 轴的惯性矩为I 别为 1=52mm、y2=88mm，截面对 轴的惯性矩为 z= 、 ，截面对z轴的惯性矩为 763cm4。梁的抗拉许用应力 σ+]=40MPa，抗压许用 梁的抗拉许用应力[ ， 应力[ 应力 σ–]=100MPa。试校核该梁的正应力强度条件。 。试校核该梁的正应力强度条件。 解：1）计算梁的支座反力 ）
σ = Eε = E
ρ
y
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 3、静力平衡关系 、 如图所示， 如图所示，在截面上任 取一微面积dA， 取一微面积 ，作用于该微 面积上的轴向力为σ⋅dA。因 。 为截面上所有轴向力的合力 为零，则有： 为零，则有：
∑ Fix = 0
i =1
n
∫ σdA = 0
A
E
∫ ydA = 0 ρA
2
I y = I yC + b A
2
结论 的惯性矩等于该截面对过形心 截面对任一轴 z 的惯性矩等于该截面对过形心 轴的惯性矩加上两轴之间的距离 加上两轴之间的 而平行于 z 轴的 zC 轴的惯性矩加上两轴之间的距离 的平方与截面面积的乘积。 的平方与截面面积的乘积。此结论对任一 y 轴也同 样成立。 样成立。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 纵向纤维线应变变化规律
cd − cd ε= cd ( ρ + y )dθ − ρdθ y = = ρdθ ρ
2、物理关系 、 梁的纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩， 梁的纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，当正应力 不超过材料的比例极限时可应用胡克定律， 不超过材料的比例极限时可应用胡克定律，因此可得 cd处的正应力为 处的正应力为
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 如图所示的简支梁是工字钢， 例7-9 如图所示的简支梁是工字钢，作用有均布 载荷， 载荷，q=10kN/m，其弯曲许用应力 σ ]=170MPa，试 ，其弯曲许用应力[ ， 选择工字钢的型号。 选择工字钢的型号。 解：1）作梁的弯矩图 ）
M max
1 2 = ql 8 = 45kN ⋅ m
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 结论：梁变形后，横向线依然保持直线， 结论：梁变形后，横向线依然保持直线，且与 梁变形后的轴线垂直。纵向线变为曲线， 梁变形后的轴线垂直。纵向线变为曲线，靠近梁顶 面的纵向线缩短，靠近梁底面的纵向线伸长。 面的纵向线缩短，靠近梁底面的纵向线伸长。 平面假设：梁变形后横截面依然保持平面， 平面假设：梁变形后横截面依然保持平面，且与梁 变形后的轴线垂直，横截面绕自身某轴作了转动。 变形后的轴线垂直，横截面绕自身某轴作了转动。 纵向纤维单向受力假设： 纵向纤维单向受力假设：梁内各纵向纤维只产生轴 向拉伸或压缩变形。 向拉伸或压缩变形。 中性层：梁在弯曲变形时， 中性层：梁在弯曲变形时， 一部分纤维伸长， 一部分纤维伸长，一部分纤 维缩短， 维缩短，必然有一部分纤维 既不伸长也不缩短的层。 既不伸长也不缩短的层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 中性轴：中性层与横截面的交线。
bh3 hb3 ，I y = Iz = 12 12
bh2 Wz = 6
Iz =
πD 4
64
Wz =
πD3
32
Iz =
πD 4
(1 − α 4 ) 64 d α= D
Wz =
(1 − α 4 ) 32 d α= D
πD3
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
惯性矩的平行移轴公式
I z = I zC + a A
M max= 30kN ⋅ m
2）计算矩形截面的 ） 抗弯截面系数
2
120×180 3 Wz = mm 6 = 6.48 × 105 mm3
3 M max 30×10 = Pa 3）梁的最大正应力 σ max = ） 5 −9 Wz 6.48×10 ×10 因此， 满足正 因此，梁满足正 = 46.3MPa < [σ ] 应力强度条件。 应力强度条件。
S Z = ∫ ydA
A
Sz = 0
结论
中性轴必 截面的形心。 中性轴必过截面的形心。 形心
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 截面所有微面积上的力对 截面所有微面积上的力对 z 轴的合力矩即 轴的合力矩即为作用在该截 面上的弯矩 弯矩： 面上的弯矩：
M = ∫ yσdA A y σ =E
ρ
M = ∫ y ⋅ E dA = ∫ y dA = ρ ρA ρ A 1 梁截面的曲率； 截面对z轴的惯性矩 梁截面的曲率 截面对 轴的惯性矩； I z ——截面对 轴的惯性矩； ——梁截面的曲率； ρ 抗弯曲刚度。 抗弯曲刚度 EI z——抗弯曲刚度。
计算各点的正应力
M C ya 2 × 103 × 50 × 10 −3 σa = = Pa = 15.0MPa 6 −12 Iz 6.67 × 10 ×10 M C yb 2 × 103 × 30 ×10 −3 σb = = Pa = 8.97MPa 6 −12 Iz 6.67 ×10 × 10 M C yc 2 × 10 × (−50 ×10 ) σc = = Pa = −15.0MPa 6 −12 Iz 6.67 × 10 × 10
I z = ∫ y 2 dA
A
I y = ∫ z 2 dA
A
工程中常见的矩形、圆形等简单截面对其形 工程中常见的矩形、圆形等简单截面对其形 矩形 心主轴的惯性矩可在表 中查到 中查到。 心主轴的惯性矩可在表7-1中查到。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
表7-1 简单截面对形心主轴的惯性矩和抗弯截面模量 图 形 形心主轴惯性矩 抗弯截面模量
梁的正应力强度条件可以解决以下三类问题： 梁的正应力强度条件可以解决以下三类问题：强 三类问题 度校核、截面设计和载荷估计。 度校核、截面设计和载荷估计。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 矩形截面的外伸梁，尺寸和载荷如图示， 例7-8 矩形截面的外伸梁，尺寸和载荷如图示， 材料的弯曲许用应力[ 材料的弯曲许用应力 σ ]=100MPa，试校核梁的强度。 ，试校核梁的强度。 解：1）作梁的弯矩图 ）
FRA
FRB
FRA
FRB
1 = ql = 3kN 2 = 3kN
1 2 M C = FRA ×1 − q ×1 ）kN ⋅ m = 2kN ⋅ m （ 2
1）计算C截面的弯矩 ）计算 截面的弯矩
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 计算截面对中性轴z的惯性矩 计算截面对中性轴 的惯性矩
bh3 1 Iz = = × 80×1003 mm4 = 6.67 ×10−6 m4 12 12
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 二、纯弯曲的概念 纯弯曲：剪力值为 值为零 弯矩值是一常数， 纯弯曲：剪力值为零，弯矩值是一常数，内力只 有弯矩，而无剪力的弯曲变形称作纯弯曲 纯弯曲。 有弯矩，而无剪力的弯曲变形称作纯弯曲。 剪切弯曲：弯曲内力既有弯矩、 剪切弯曲：弯曲内力既有弯矩、又有剪力的弯曲 变形称剪切弯曲 剪切弯曲（ 横力弯曲）。 变形称剪切弯曲（或横力弯曲）。 三、纯弯曲时横截面的正应力 1、几何关系 、 观察梁的变形： 取一对 观察梁的变形 ： 取一 对 截面梁， 称 截面梁 ， 在其表面上画上 横向线m-m和n-n以及纵向线 横向线 和 以及纵向线 ab和 cd， 在梁的纵向对称面 和 ， 内施加一对等值、 内施加一对等值 、 反向的力 梁处于纯弯曲状态。 偶，梁处于纯弯曲状态。
2
σ max
M max ymax 2.25 ×10 × 50 ×10 Pa = = 6 −12 Iz 6.67 ×10 ×10 = 16.9MPa
3
−3
第七章 直梁弯曲时的内力和应力