0.6F (0 x a) FS ( x) 0.4F (a x l )
x
(a)
0.6Fx (0 x a) M ( x) 0.4F (l x) (a x l )
3）作剪力图和弯矩图
(b)
(c)
例5-5 如图所示，简支梁AB受载荷集度为 q 的 均布载荷作用，试作梁AB的剪力图和弯矩图。 解： 1）求支座反力
M FS ( x) l
(0 x l )
x
M x ( 0 x a ) l M ( x) M (l x) (a x l ) l
3）作剪力图和弯矩图
注意：弯矩图是两斜 直线，在 C 截面处有突 变，突变量为 M 。
例5-4 如图所示简支梁，C 截面处作用集中力 F ， 且 a 0.4l ，试作梁的剪力图和弯矩图。
剪力图和弯矩图 的特点和规律
2. q = 常数的梁段：∵ dFS / dx q ，∴ FS 为 x 的一次 函数，剪力图为斜直线，斜率由 q 值确定；而M ( x) 是 x的二次函数，则弯矩图为二次抛物线。
2 2 • 当分布载荷向上 （即 q > 0） 时， d M (x)/ d x q 0 ， 弯矩图为凹曲线。此时，因为 dM ( x) / dx FS， ∴ 当 FS 时，弯矩图存在极小值。 0
1 FA FB ql 2
2）求剪力方程和 弯矩方程
x
1 FS ( x) ql qx (0 x l ) 2 1 1 2 M ( x) qlx qx (0 x l ) 2 2
3）作剪力图和弯矩图
1 FS ( x) ql qx 2
剪力图：是一斜直线
(0 x l )
解： 1）求支座反力
M B (Fi ) 0
i 1
n
FA l F (l a) 0 FA 0.6F FB l F a 0
M A (Fi ) 0
i 1
n
FB 0.4 F
2）求剪力方程和弯矩方程 C截面作用有集中力，AC 梁段和BC梁段的剪 力方程表达式不一样，需分段建立方程。
例5-3 如图所示简支梁，C截面处作用有集中力 偶M，作梁的剪力图和弯矩图。 解： 1）求支座反力
n
M A (Fi ) 0
i 1
FB l M 0
M FB lLeabharlann M B (Fi ) 0
i 1
n
FA l M 0
M FA l
2）求剪力方程和弯矩方程（分段建立方程） AC段
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 • 剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁 轴线变化的情况，沿梁轴线选取坐标 x 表示梁截 面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解析 表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
FS FS ( x)
M M ( x)
• 剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪 力值和弯矩值为纵坐标，按适当比例作出剪力和 弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。 • 剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图 形象直观，两者对于解决梁的弯曲强度和刚度问 题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
• 当分布载荷向下 （即 q < 0） 时， d 2 M (x)/ d 2 x q 0 ， 弯矩图为凸曲线。此时，因为 dM ( x) / dx FS， ∴ 当 FS 时，弯矩图存在极大值。 0
表 5-1 各种形式载荷作用下的剪力图和弯矩图
FS 0 FS 0
q0
FS 0
分段建立方程： AC 段 x
FS ( x) 0.6F (0 x a)
M ( x) FA x 0.6Fx
CB 段
(0 x a ) (a x l ) (a x l )
FS ( x) FB 0.4F
M ( x) FB (l x) 0.4F (l x)
1. q = 0的梁段：∵ dFS / dx 0 ，∴ FQ 为常数，剪力 图为水平直线；而 dM ( x) / dx FS 为常数，则 M ( x) 是 x的一次函数，即弯矩图为斜直线，斜率由 FS值确定。
剪力图和弯矩图 的特点和规律
1. q = 0的梁段：∵ dFS / dx 0 ，∴ FQ 为常数，剪力 图为水平直线；而 dM ( x) / dx FS 为常数，则 M ( x) 是 x的一次函数，即弯矩图为斜直线，斜率由 FS值确定。 • 当梁上仅有集中力作用时，剪力图在集中力作用 处有突变，突变量是集中力的大小；弯矩图在集 中力作用处产生尖角。 • 当梁上仅有集中力偶作用时，剪力图在集中力偶 作用处不变；弯矩图在集中力偶作用处有突变， 突变量是集中力偶的大小。
dM ( x) 1 ql qx 0 dx 2 1 得 x l 2 1 2 M max ql 8
弯矩图如图所示。
二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系
剪力、弯矩与载荷 集度的微分关系 剪力图和弯矩图 的特点和规律
dFS ( x) q ( x) dx dM ( x) FS ( x) dx d 2 M ( x) q( x) 2 d x
FS 0
q0
q0
q 常数
M FS ( x) FA l (0 x a )
x
M M ( x) FA x x (0 x a ) l M FS ( x) FB CB段 (a x l ) l M M ( x) FB (l x) (l x) (a x l ) l
当x 0 时
1 FS (0) ql 2 当 x l时 1 FS (l ) ql 2
剪力图如图所示。
弯矩图：是一抛物线
当x 0时 当x l 时
M (0) 0
M (l ) 0
1 1 2 M ( x) qlx qx 2 2 (0 x l )
确定抛物线的极值点