12
表9－2
r=1情形的脉冲响应函数表 传递函数 脉冲响应函数
（b，r，s）
（2，1，1）
0 1 B 2 B 2 (1 1B)
(0 1 B) B
2
0 1 0
2 0
v21 1

（2，1，2）
1 B 2 B 2 3 B 3 (1 1 B) 0 1 0 2 0 0 3 1v2 1 2 2 (0 1 B 2 B ) B v31 2
( yt , xt s ) yx (s)
( yt , xt s ) yx ( s)
xt s
xt
xt s
图9-3 互相关函数示意图
18
（二）样本互相关函数
由于总体的互相关函数是未知的，通常需要用一个跨度为N
的样本来估计总体互相关函数，假设(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，
称vi(i=1，2，…)为脉冲相应函数。
6
根据（9.5）式，有
(1 1B r B r )( 0 1B 2 B 2 ) ( 0 1B s B s ) Bb
(1 1B r B r )( 0 1B 2 B 2 )
2
第一节 模型简介
我们研究具有一个或多个输入变量的单输出的线性系统.
随机干扰at
输入xt
动态系统
输出yt
3
一、模型的形式
( B ) B b ( B ) Yt Xt at E ( B) ( B)
其中
（B）、E(B)、(B) 和(B)为B的多项式，其
( B) 0 1B s B s E ( B ) 1 1 B r B r
xy (1)
Sx S y
2.167 0.595 2.38 1.53
从计算的结果可以看出互相关系数是不相等的，即互相关 系数与间隔的方向有关。
23
【例9.2】本例的数据来源于Box与Jenkins合著《时间序
列分析—预测与控制》序列M。序列M是1970年销售额与销
售额的领先指标共150对数据，图9-1是领先指标的数据图， 图9-2是销售额指标的数据图，图9-3是利用SAS8.2计算的原
( 0 1B 2 B 2 3 B3 vb Bb vbs Bbs ) ( 0 1B s B s ) Bb
10
表9－1
r=0情形的脉冲响应函数表
(b, r , s)
传递函数
脉冲响应函数
（2，0，0）
（2，0，1） （2，0，2）
14
第二节 传递函数模型的识别
ARMA模型的识别工具是自相关和偏自相关函数，
这些相关函数均是同一个变量在两个不同时刻的相
关，这是因为ARMA模型涉及的是单变量问题，而
传递函数模型是多元的时间序列分析，模型的识别
会同时涉及到互相关和自相关问题，因为自相关在 前面的章节已经讨论，所以这里只讨论互相关的问 题。
( 0 Bb 1Bb1 s B sb )
7
由待定系数法，可得
0 j 1v j 1 2 v j 1 r v j r j b v v v r j r 1 j 1 2 j 1 jb j b, b 1, b 2,, b s j bs
1 5 xy (1) ( xt x )( yt 1 y ) 6 t 1 1 0 2 (4) (2) (2) (1) 1 0 3 2 6 1 16 2.667 6 1 5 xy (1) ( yt y )( xt 1 x ) 6 t 1
通常在实务中r和s很少超过2。
13
四、传递函数的稳定性
特征方程
r 1 r 1 r 0
的根在单位圆之内，这时此系统称为稳定系统，这个条件 相当于ARMA序列平稳的条件。 特征方程
p 1 p1 p 0
的根在单位圆之内。 模型残差部分为平稳时间序列。
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 50-60 70-80
35% 30% 25% 20%
`
15% 10% 5% 0% 90-100
应用时间序列分析
第六章 传递函数模型
本章要点和要求
本章从简单的例子出发，定义了传递函数模型的形式， 研究了传递函数模型和脉冲响应函数的基本特征和性质，以 及传递函数模型的稳定性。之后讨论传递函数模型的识别、 估计和诊断校验，并用实例循序渐进说明建模的过程。作为 传递函数模型的特例在本章的最后一节讨论了干预变量模型 的理论和建模过程。 要求学生掌握有关传递函数模型的理论、脉冲响应函数 与互相关函数的关系和传递函数建模过程。
有如下结论： 前b个脉冲函数值为零，即 v0 vb1 0 当j=b，b+1，…，b+s时，脉冲函数vt由
vt 1v j 1 2v j 1 r v j r j b
确定，这时的脉冲响应函数无固定形式；
8
当j>b+s，有
j 1v j 1 2v j 1 r v j r
11
( 0 1 B 2 B 2 ) B 2
（二）r=1的情形
在这个情况下，当s=0时，从 b 开始脉冲响应函数呈指数
衰减；当s=1时，从 b 1开始脉冲响应函数呈指数衰减；当s=2
时，从开始脉冲响应函数呈指数衰减。
(1 1 B)( 0 1 B 2 B 2 3 B 3 vb s B b s ) ( 0 1 B s B s ) B b
( B) 1 1B q B q ( B) 1 1B p B p
阶数依次为s、r、q及p， 称b为延迟参数。at是随 机干扰项，独立同正态 分布。
( B ) B b 称为传递函数。 E ( B)
4
多变量输入传递函数模型的一般形式
yt
j 1
1 (4) (1) (2) 2 1 (2) 3 (1) 2 0 6 1 (13) 2.167 6
22
732 S x S y 2.38 1.53
xy (1)
xy (1)
20
【例9.1】 用表9-3中模拟的序列，计算互相关系数。
xt x yt y
t
1 2 3 4 5 6
xt
yt
7 10 6 7 8 10
11 7 9 12 14 13
0 -4 -2 1 3 2
-1 2 -2 -1 0 2
计算两个序列的均值分别为11和8，标准差分别为2.38和1.53。
21
互协方差函数为：
k
j ( B) B
( B) X tj at E j ( B) ( B)
bj
本节仅讨论单变量传递函数模型。
5
二、传递函数的性质
设传递函数为
( B ) B b V ( B) E ( B)
（9.5）
由于V(B)是有理函数，从理论上讲V(B)是B的无穷高阶的
多项式，可以表达为
V ( B) 0 1B 2 B 2
0 1 B 2 B 2 0 B 2
( 0 1B 2 B 2 3 B3 ) ( 0 1B) B 2
( 0 1B 2 B 2 3 B3 4 B 4 )
0 1 0 2 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 0 2 0 3 1 4 2
为互协方差函数。称
( xt , ys )
E ( xt x )(( ys y )
x y
xy ( s t )
为互相关函数，记为CCF。
16

注：特别值得注意的是互相关函数不仅与时间间隔有关，
而且不对称，如（9.9）和（9.10）式所示。
( xt , yt s )
15
一、互协方差函数和互相关函数
（一）互相关函数
给定二时间序列xt和yt，t=0,±1, ±2,…,且均为一元平稳
时间序列，如果不是平稳的时间序列，总可以通过适当 的差分，转化为平稳的时间序列。称
cov( xt , ys ) E ( xt x )(( ys y ) xy ( s t )
始数据分别做一阶差分后的数据和的互相关函数。
24
xt 14
13
12
11
10
xt
9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
time
图9-4 领先指标的数据图
25
yt 270
260
250
240
230
220
210
200
190 0 10 20 30 40 50 60 70 time 80 90 100 110 120 130 140 150
(XN，YN)如果Xt和Yt是非平稳的，那么我们总可以经过d阶差分 将其转换为平稳的时间序列，不妨记差分后的序列为(x1，y1)，
(x2，y2)，…，(xN，yN)。样本的互协方差函数为
1 N k N ( xt x )( yt k y ) t1 xy (k ) Nk 1 1 ( yt y )( xt k x ) N t k
k 0,1, 2, k 0,1, 2,
19
样本的互相关系数为
ˆ xy (k )