例谈立体几何中的转化
立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。

立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，具体从以下几个方面入手。

1、 位置关系的转化
线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。

例1 已知三棱锥S －ABC 中，∠ABC ＝90°，侧棱SA ⊥底面ABC ，点A 在棱SB 和SC 上的射影分别是点E 、F 。

求证EF ⊥SC 。

分析：∵A 、E 、F 三点不共线，AF ⊥SC ，
∴要证EF ⊥SC ，只要证SC ⊥平面AEF ， 只要证SC ⊥AE （如图1）。

又∵BC ⊥AB ，BC ⊥SA ，∴BC ⊥平面SAB ，
∴SB 是SC 在平面SAB 上的射影。

∴只要证AE ⊥SB （已知），∴EF ⊥SC 。

例2 设矩形ABCD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，以EF 为棱将矩形
折成二面角A －EF －C 1(如图－2)。

求证：平面AB 1E ∥平面C 1DF 。

分析一（纵向转化）：
∵AE ∥DF ，AE ⊄平面C 1DF ，
∴ AE ∥平面C 1DF.同理，B 1E ∥平面C 1DF ，
又AE ∩B 1E ＝E ，∴平面AB 1E ∥平面C 1DF 。

分析二（横向转化）：
∵AE ∥EF ，B 1E ⊥EF ，且AE ∩B 1E ＝E ，∴EF ⊥平面C 1DF 。

同理，EF ⊥平面C 1DF 。

平面AB1E ∥平面C 1DF 。

2、降维转化
由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。

降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一
个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。

如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。

例3 如图-3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=
2，BB 1=2，
ο90=∠ABC ，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F
两点的最短路径的长度为 .
22
3
分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。

又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两 相交直线成的角来进行的。

B E A D1
C F C 1 图－2
D
图－1 E S F C
B
A 图-3
例4 如图-4直四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，底面ABCD 是直角梯形，∠A 是直角，AB||CD ，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 解：由题意AB//CD ，
BA C 1∠∴是异面直线BC 1与DC 所成的角.
连结AC 1与AC ，在Rt △ADC 中，可得5=
AC ，
又在Rt △ACC 1中，可得AC 1=3.
在梯形ABCD 中，过C 作CH//AD 交AB 于H ， 得13,3,2,90=∴==︒=∠CB HB CH CHB
又在1CBC Rt ∆中，可得171=BC ，
在.17
17
3arccos ,171732cos ,112121211=∠∴=⋅-+=∠∆ABC BC AB AC BC AB ABC ABC 中
∴异而直线BC 1与DC 所成角的大小为。

实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。

3、割补转化
“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。

例5 如图5，三棱锥P －ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA ＝BC ＝n, PA 与BC 的公垂线ED ＝h ，
求证：三棱锥P －ABC 的体积V ＝16 n 2
h.
此题证法很多，下面用割补法证明如下：
分析一：如图5，连结AD 、PD ，∵BC ⊥DE ，BC ⊥AB ，
∴BC ⊥平面APD ，又DE ⊥AP ，
∴V P －ABC ＝V B －APD ＋V C －APD ＝31BC ·S ⊿APD ＝h
n 2
61 。

分析二：如图6，以三棱锥P －ABC 的底面为底面，侧棱PA 为
侧棱，补成三棱拄 PB1C1－ABC ，连结EC 、EB ，则易证AP ⊥平面EBC ，
B
图－6
A
C P
B 1
C 1 E A
B C
P
E D 图—5
图-4。