2011—2012学年A+学堂九年级春季提优（二次函数）
1．如图，直角梯形OABC 中，OC ∥AB ，C (0，3)，B (4，1)，以BC 为直径的圆交x 轴于E 、
D 两点(D 点在
E 点右方)．
(1)求点E 、D 的坐标；
(2)求过B 、C 、D 三点的抛物线的函数关系式；
(3)过B 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？
若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．
2．如图，已知抛物线y ＝ax 2
－4x ＋c 经过点A (0，－6)和
B (3，－9)．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
(3)点P (m ，m )与点Q 均在抛物线上(其中m ＞0)，且这两点 关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 的坐标； (4)在满足(3)的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M ， 使得△QMA 的周长最小．
3．如图，抛物线2
y x bx c =++的顶点为(1,4)D --，与y 轴交于点(0,3)C -，与x 轴 交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）. （1）求抛物线的解析式；
（2）连接,,AC CD AD ，试证明△ACD 为直角三角形；
（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以,,,A B E F 为顶点的四
边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2
的图象与x 轴交于A 、B 两点，
A 点在原点的左侧，
B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于
C （0，-3）点，点P 是直线BC
下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形C P PO '，那么是否存在点P ，使四边形C P PO '为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.
5. 如图，已知二次函数2
y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （12-，）。
x
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D 。
若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ACBD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标及△PEF 的面积；若不存在，请说明理由。
6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ；抛物线y
＝－x 2
＋bx ＋c 经过B 、C 两点，并与x 轴交于另一点A ． (1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)设P (x ，y )是(1)所得抛物线上的一个动点，过点P 作直线l ⊥x 轴于点M ，交直线BC 于点N ．
①若点P 在第一象限内．试问：线段PN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x 的值；若不存在，请说明理由； ②求以BC 为底边的等腰△BPC 的面积．
7. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点
Q 的坐标．
8. 孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2
(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题： （1
）若测得OA OB ==1），求a 的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥轴
于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．
； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线
段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
9. 如图，抛物线y ＝－ 1 4
x 2
＋x ＋3与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，顶点为点D ，对
称轴l 与直线BC 交于点E ，与x 轴交于点F ． (1)求直线BC 的解析式．
(2)设点P 为该抛物线上的一个动点，以点P 为圆心、
r 为半径作⊙P ． ① 当点P 运动到点D 时，若⊙P 与直线BC 相交， 求r 的取值范围；
②若r ＝455
，是否存在点P 使⊙P 与直线BC 相切？若存在，请求出点P 的坐标；若不存
在，请说明理
10. 已二次函数2
123y x x =--及一次函数2y x m =+.
(l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标； (2)将该二次函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图10中画出这个新图象，并求出新图象与直线2y x m =+有三个不同公共点时m 的值：
(3)当02x ≤≤时，函数12(y y y =++共点，求m 的取值范围．
11. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过点B (12，0)和C (0，－6)，对称轴为x ＝2． (1)求该抛物线的解析式．
(2)点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t (秒)和点Q 的运动速度；若存在，请说明理由．
(3)在(2)的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若存在，请说明理由． 12. 如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB 的斜边OB 在x 轴上，顶点A 的坐标为
(3，3)，AD 为斜边上的高．抛物线y ＝ax 2
＋2x 与直线y ＝ 1 2
x 交于点O 、C ，点C 的横坐标
为6．点P 在x 轴的正半轴上，过点P 作PE ∥y 轴，交射线OA 于点E ．设点P 的横坐标为m ，以A 、B 、D 、E 为顶点的四边形的面积为S ． (1)求OA 所在直线的解析式． (2)求a 的值．
(3)当m ≠3时，求S 与m 的函数关系式．
(4)如图②，设直线PE 交射线OC 于点R ，交抛物线于点Q ．以RQ 为一边，在RQ 的右侧作
矩形RQMN ，其中RN ＝ 3
2
．直接写出矩形RQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形时m 的取
x
13．如图所示，抛物线2
23y x x
=-++与x 轴交于A 、B 两点，直线BD 的函数表达式为y =+l 与直线BD 交于点C 、与x 轴交于点E ．
⑴求A 、B 、C 三个点的坐标．
⑵点P 为线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），以点A 为圆心、以AP 为半径的圆弧与线段AC 交于点M ，以点B 为圆心、以BP 为半径的圆弧与线段BC 交于点N ，分别连接AN 、BM 、MN ．
①求证：AN =BM ．
②在点P 运动的过程中，四边形AMNB 的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.
14. 如图，已知实数m 是方程x 2-8x +16=0的一个实数根，抛物线y=2
1-x 2
+b x +c 交x 轴于点A (m ,0)和点B ，交y 轴于点C (0,m ).
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点D 为线段AB 上的一个动点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，又过D 作DF ∥AC 交BC 于点F ，当四边形DECF 的面积最大时，求点D 的坐标；
（3）设△AOC 的外接圆为⊙G ，若M 是⊙G 的优弧ACO 上的一个动点，连接AM 、OM ，问在这个抛物线位于y 轴左侧的图象上是否存在点N ，使得∠NOB =∠AMO .若存在，
试求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
15. 在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(3
2x x
y =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．
（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKP A 的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ，B ，C 的坐标．
②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的
2
1
．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由．
x
y O
图9
A
D C F
B
E
A
P
y =
K O。