永昌县第一高级中学数学学业水平测试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =-, 则A B I 等于（ ） A .{}1B. {}1,0,2-C. {}1,0,1,2-D. ∅2. cos120︒的值是（ ） A. B. 12- C. 12D.3. 不等式2230x x --<的解集是（ ） A .()3,1- B.()1,3- C.()(),13,-∞-+∞U D. ()(),31,-∞-+∞U4.已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l ,则a 的值为（ ）A . 8 B. 2 C. 12- D. 2-5. 函数sin 2y x =是（ ）A . 最小正周期为2π的偶函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π的奇函数6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为（ ）A . 2 B. 3 C.4 D. 97. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2x y +的最大值为（ ）A . 1 B.53C. 2D. 38. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为（ ）A . B.C. D.9. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±, 则下列结论中正确的是 （ ）A . ()()//-+a b a b B. ()//+a b b C. D.()+⊥a b b10. 已知函数()1f x =, 则对任意实数12x x 、,且1202x x <<<, 都有（ ） A. B.C. D.二、填空题（每小题4分，共20分）11.函数()ln 21y x =-的定义域是 .12. 在空间直角坐标系Oxyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 .13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车 比B 种型号的轿车少8辆，那么n = .14. 已知函数1(0x y a a -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线 上, 则12m n+的最小值为 . 15．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝_______. 三、解答题：16. （6分）编号分别为12312,,,,A A A A L 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:()()1221x f x x f x <()()1122x f x x f x >()()-⊥+a b a b ()()1221x f x x f x >()()1122x f x x f x <（1）完成如下的频率分布表: （2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率.17．（8分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知13,2,cos 3a b A ===．（1）求sin B 的值；（2）求c 的值.18．（8分）如图2，在三棱锥P ABC -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段PB 的中点，平面PAC ⊥平面ABC ． （1）在线段AB 上是否存在点E , 使得//DE 平面PAC ？ 若存在, 指出点E 的位置, 并加以证明；若不存在, 请说明理由;（2）求证：PA BC ⊥.19. （8分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12111n n T S S S =+++L ，求证：34n T <. 20. （10分）已知113a ≤≤, 若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为,令()()M a N a =-()g a 达式;若关于方程t -=, 求实取值()1,2,直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两121d d -点，MN =2. （1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠, 过点(),0A t 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的距离为2d , 求 的取值范围.高中数学学业水平测试复习题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．11. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12. ()1,2,3-- 13. 72 14.3+三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1) 解:频率分布表:………4分(2)解: 得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A ,{}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种.………7分“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共8种.………10分 所以()80.810P B ==. 答: 从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为0.8.………12分16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． （1）解：∵0A π<<，1cos 3A =，∴sin 3A ==．………2分由正弦定理得：sin sin a bA B=，………4分∴2sin 3sin 3b A B a⨯===.………6分（2）解：∵13,2,cos 3a b A ===，∴222123b c a bc +-=.………8分∴222231223c c +-=⨯，解得3c=.………12分17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．（1）解：在线段AB上存在点E, 使得//DE平面PAC, 点E是线段AB的中点. …2分下面证明//DE平面PAC:取线段AB的中点E, 连接DE，………3分∵点D是线段PB的中点，∴DE是△PAB的中位线. ………4分∴//DE PA. ………6分∵PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC，∴//DE平面PAC. ………8分（2）证明：∵5,4,3AB BC AC===,∴222AB BC AC=+.∴AC BC⊥.………10分∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC I平面ABC AC=，BC⊂平面ABC，面PAC.∴PA BC⊥.………14分18．本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分．（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d , ∵ 1310a a +=, 424S =, ∴112210,43424.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩………2分解得13a =,2d =.………4分∴()32121n a n n =+⨯-=+.………6分（2）证明：由（1）得()()()1321222n n n a a n n S n n +++===+，………8分∴ 12111n nT S S S =+++L ………10分=31114212n n ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭………12分34<.………14分19．本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证能力．满分14分．(1)解: 设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心()1,2到直线l的距离d ==.………2分∵ MN =2,∴2=. ………3分∴2=.………4分解得r =.………5分∴ 所求的圆C 的方程为()()22123x y -+-=.………6分(2) 解:∵圆C ：()()22123x y -+-=的圆心()1,2C ,半径r =∴1d AB====.………8分又点(),0A t 到直线l 的距离2d ==.………9分∴121d d -==.………10分令m =，则1t -=，………11分∵1t ≠，∴1m >.∴121d d -===. ………12分 ∵1m >, ∴12m +>.∴2011m <<+.∴20111m <-<+.………13分∴0<< ∴121d d -的取值范围是(.………14分20．本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分．(1) 解:()22f x ax x=-211a x a a ⎛⎫=--⎪⎝⎭. ………1分∵ 113a ≤≤,∴113a ≤≤.① 当112a ≤≤,即112a ≤≤时, 则3x =时,函数()f x 取得最大值; 1x a=时, 函数()f x 取得最小值.∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∴()()()g a M a N a =-=196a a+-.………3分② 当123a <≤,即1132a ≤<时, 则1x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a=时, 函数()f x 取得最小值. ∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∴()()()g a M a N a =-=12a a+-.………5分综上，得()g a =1112,,321196, 1.2a a a a a a ⎧+-≤<⎪⎪⎨⎪+-≤≤⎪⎩………6分（2）解：任取1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <，()()1212121a a a a a a --=.………7分∵1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <，∴1212120,0,10a a a a a a -<>-<.∴()()12121210a a a a a a -->,即()()120g a g a ->. ∴()()12g a g a >.∴函数()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减. ………8分任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，()()34343491a a a a a a --=.………9分∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，∴3434340,0,910a a a a a a -<>->.∴()()343434910a a a a a a --<,即()()340g a g a -<. ∴()()34g a g a <.∴函数()g a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. ………10分当12a =时,()g a 取得最小值,其值为12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭12, ………11分又13g ⎛⎫= ⎪⎝⎭43, ()1g =4.∴函数()g a 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………12分∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解，∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域． ………13分∴实数t的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………14分。