假想地在杆上施加一微小的 横向力，使杆发生弯 曲变形，然后撤去横向力。
P Q
P Pcr
P
(a)
P Pcr
(b)
当 P小于某一临界值 Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复 其原来的直线平衡形态（图 b），压杆在直线形态下的平 衡是 稳定平衡。
P Q
P Pcr
P Pcr
P
P Pcr
P Pcr
挠曲线为半波正弦曲线。
讨论
（1）求解过程为，
xo y0
y Asin kx B cos kx
B=0
y Asin kx
x l y
2
A
sin kl
2
y
sin kl
sin
kx
2
xl
y0
0
sin kl
sin
kl
2
cos
kl 2
2
cos kl 0
K
Pcr
2
挠曲线的中点挠度 是个无法确定的值。即无论 为何值， 上述平衡条件都成立。 似乎压杆受临界力作用时可以在微弯状态下处于 随遇平衡 （中性平衡）状态。
压杆的承载能力是由临界值 Pcr 确定的。
9-2 两端绞支细长压杆的临界压力
两端 球形绞支，长为 l 的等截面 细长 中心受压直杆。 当压力达到 临界值 时，压杆由直线平衡形态转变为曲线 平衡形态。
使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力即为 临界压力。
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
m
y
B
m
x
y
Pcr
M (x)
把边界条件：
xo y0
代入方程，得
B=0 方程变为
y Asin kx
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
y Asin kx 把 x l y
2
代入方程，得
A
sin kl
2
方程变为
y
sin kl
sin
kx
2
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
y
sin kl
sin
kx
2
把边界条件：
xl y0
代入方程，得
0
sin kl
m
m
y
B
x
M (x) Pcr y
压杆任一 x 截面沿 y 方向的 位移为 y = f (x) 该截面的弯矩为
M (x) Pcr y
杆的挠曲线近似微分方程为
EIy" M ( x) Pcr y
y
m
y
B
M (x)
m
x
M(x) = -Pcr y
EIy" M (x) Pcr y
其中 I 为压杆横截面的 最小形心主惯性矩。
P cr
EIk 2
2 EI l2
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
x
两端绞支 等截面 细长 中心受压直杆
Pcr 临界力的计算公式（欧拉公式）
Pcr
2
l
EI
2
l
l 2
y
A
δ
B
Pcr
2 EI l2
y
sin kl
sin
kx
2
当 kl π 时，
sin kl sinπ 1 22
挠曲线方程为
y sin x l
P
Pcr
o
事实上 随遇平衡 状态是不成立的。 值之所以不确定，是因为在推导过程中用了 挠曲线近似微分方程。 （2）若采用挠曲线的精确微分方程，挠曲线中点的挠度 与压力 P 之间的近似关系式为
2 2l
P Pcr
1
1
1 2
(
P Pcr
1)
与 P 存在一一对应的关系， 是一个确定的值 。
sin
kl
2
cos
kl 2
2
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
0
sin kl
sin
kl
2
cos
kl 2
2
要想压杆在微弯状态下平衡只有
cos kl 0 2
kl n (n 1,3,5 )
22
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
kl n (n 1,3,5 )
22
其最小解为 n = 1 的解
k
l
Pcr EI
k2
(a)
(b)
(c)
当 P增大到一定的临界值 Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持
弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态（图 c），
压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡。
压力 P 的临界值 Pcr 称为临界压力或 临界力。 压杆丧失直线形式的平衡过度为曲线平衡，称为丧失稳定。 （简称 失稳 或 屈曲）。
受偏心压力作用的杆件，不论偏心距多么小，压杆的 次要变形—— 弯曲变形 将随压力的增大而加速增长， 并转化为主要变形，从而导致压杆丧失承载能力。
中心受压直杆：杆由均貭材料制成，轴线为直线，外力的作 用线与压杆轴线重合。（不存在压杆弯曲的初始因素）
研究方法：
在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后，
结论 ：要提高压杆的承载能力，就应该提高压杆的 抗弯 刚度。
原因： （1）压杆在制作时其轴线存在初曲率；
（2）作用在压杆上的外力作用线不可能毫无偏差的与杆的 轴线相重合；
（3）压杆的材料不可避免地存在不均匀性。
将这些因素都用外加压力的偏心来模拟。
x
P
z
y y
z
x Pz
mz
y
my
杆件产生组合变形：轴向压缩与两个垂直平面内的弯曲
§ 9-1 压杆稳定的概念
第二章中，轴向拉，压杆的强度条件为
Hale Waihona Puke maxN max A
例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。 钢的许用应力为[]=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能 承受的轴向压力为
[P] = Nmax = A[] = 3.92 KN
实际，当压力不到 40N 时，钢尺就被 压弯 。可见 ， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度 ， 而是与 受压时变弯 有关。
令
Pcr EI
k2
则有二阶常系数线性微分方程
y" k2 y 0
y
m
y
B
M (x)
m
x
M(x) = -Pcr y
y" k2 y 0
Pcr EI
k2
其通解为
y Asin kx B cos kx
A，B，k 三个待定常数.
由挠曲线的边界条件确定。
x
Pcr
l
l 2
y
A
δ
B
y Asin kx B cos kx