由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2

MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
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第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(

w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2

k
2w

k
2
l
l
FM w
x
F B
F

B F
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第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2

k2w

k 2
F
w

通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
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第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
F
1. 一端固支一端自由：
观察：受力与变形与两端 铰支压杆左半部分相同
F
F
l
l
类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于 长2l的对应铰支压杆的临界载荷。
2 EI 2 EI
Fcr (2l )2 4l 2
与解析法结果相同
Page32

2 EI z
l2
其中=0.5 ～1， Iy<Ix
需要判断，杆件总沿临界载荷最小的方向失稳
z
a
Iy

hb3 12
bh3 Iz 12
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第十章 压杆稳定问题
习题10-3：AB刚性杆，BC弹性 梁，弯曲刚度EI，求Fcr
FF A
解：考虑梁杆结构的临界平
a
衡，B为刚性接头，在B处
q1 q2
F
EI
l
解： （1）分析失稳曲线特征： 两端转角为零，B端水平 位移不为零。
（2）类比长为2l 的两端固支杆
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例： 试用类比法求临界载荷
第十章 压杆稳定问题
F
l
F
l
解：（1）分析失稳曲线特征：两端转角为零，B端水平 位移不为零。
（2）分析临界失稳的变形，类比长为2l 的两端固支杆
2 EI 2EI
4.4932 EI 2EI
Fcr
l2
(0.7l)2
思考讨论题：
力学模型（有条件的随遇平衡）、
数学方程（微分方程）、有条件的
随遇平衡的数学表达（齐次方程的 非零解）之间的对应关系。
FR F
x
l
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第十章 压杆稳定问题
上一讲回顾
1．弹性平衡稳定性的概念 受压杆件保持初始直线平衡状态 的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力 称为弹性平衡的稳定性。
A 问题的提出:强度条件是否适用于下列拉压杆？
F
FF
F
短粗杆
F
F
F
F
细长杆
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第十章 压杆稳定问题 工程实例：石桥、钢桥与稳定问题
左图：隋朝建成 的赵州桥
右图： Tacoma 海峡 大桥1940年破坏
Euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论）
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Page18
第十章 压杆稳定问题
例：确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y
O
z
xF
l
F
h
解：临界载荷
Fcr

2 EI
l2
b
y
1. 当两端的约束是球形铰。
I

Iy
2
Iz

Iy
2
Iz
cos 2a

I yz sin 2a
z
a
Iz

bh3 12
Iy

hb3 12
压杆在x-z平面内失稳
Fcr
Asin kl 0
•存在非零解的条件： sin kl 0
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第十章 压杆稳定问题
•临界载荷欧拉公式
F
F
sin kl 0
kl n
k n
l
注意到： F k 2 , EI
F

n2 2EI
l2
设： n=1
2 EI
Fcr l 2
(n 1, 2 )
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由对A的力矩平衡
解析法确定临界载荷：铰支-固支压杆 类比法确定临界载荷 相当长度与长度因素 例题
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第十章 压杆稳定问题
一、解析法确定临界载荷
1. 固支-自由压杆
根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
A
M(x) F( w)
d2w M(x)
dx2 EI
A
d 2w dx 2

F EI
第十章 压杆稳定问题
•刚体与变形体的稳定性
（1）刚性面上，刚性球受微干扰
F F
FR
FR
W
a. 合力FR指向平衡位置
W
b. FR为0
W
c. FR偏离平衡位置
稳定平衡
临界(随遇)平衡
不稳定平衡
Page 4
第十章 压杆稳定问题
（2）刚杆－弹簧系统受微干扰
刚杆－弹簧系统稳定性演示
a. F k l
d 2w dx 2

F EI
w

FR EI
(l

x)
x
M ( x) FR
Fw
lx
FR F
FR
F
通解：
w

A sin
kx

B cos
kx

FR EIk 2
(l

x)
(k2 F ) EI
Page27
第十章 压杆稳定问题
通解：
w

A sin
kx

B cos
kx

FR EIk 2
(l

x)
(k2 F ) EI
0 k sin kl
1 0 cos kl
l
EIk 2

1 EIk
2
0
0
Asin kl Bcos kl 0
FR
F x
l
tan kl kl
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第十章 压杆稳定问题
tan kl kl
y1 tan kl y2 kl
( kl)a 4.493
F k2EI
F l 4.493 EI
比较显示了理想压杆小挠度理论的实际意义。
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第十章 压杆稳定问题
例：确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y
l
O
xF
z
解：临界载荷
Fcr

2 EI
l2
问题：结构在哪个平面内失稳？ 临界载荷等于多少？
1. 当两端的约束是球形铰。
F
h
b
y
z
a
2. 当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。
B Fcr
0.7l B Fcr
Fc Br 0.7l
Page33
3. 两端固支压杆：
拐点
l4
l2
第十章 压杆稳定问题
拐点
Fcr l4
Fcr


(l
2 EI / 2)2
Fcr
Fcr
l2
Page34
第十章 压杆稳定问题
三、欧拉公式的统一表达式：
Fcr

2 EI
l2
1
2 EI
Fcr (2l )2
薄壁圆筒轴向受压
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•风洞颤振试验照片
第十章 压杆稳定问题
左侧为风速低于颤振速度，结构稳定； 右侧为风速等于颤振速度，结构振动发散。
Page 9
•飞机颤振问题研究
第十章 压杆稳定问题
Page10
第十章 压杆稳定问题
§10-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
• •
两
两
端
端
铰
铰
支
支
压
压
杆
杆
临
失
考虑位移边界条件：
x 0, w 0
B
FR l EIk 2
0
x 0, w' 0
Ak
FR EIk 2
0
FR
F x
l
x l, w 0 Asin kl Bcos kl 0
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第十章 压杆稳定问题
B
FR l EIk 2
0
Ak
FR EIk 2
0
•存在非零解的条件：
2
2 EI
Fcr l / 22