一、两端铰支的细长压杆
x
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状
Fcr
态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。 A
Fcr x M(x)=－Fcrw
w
x
w Fcr
B w
Fcr
x
Fcr x M(x)=－Fcrw w
w Fcr
①弯矩： M ( x) Fcr w
②挠曲线近似微分方程：
w" M ( x) Fcr w
F= σb A=6kN
F
F
压杆的破坏实验结果：
（1）短杆在压力增加到约为6kN 时，因木纹出现裂纹而破坏。
F
（2）长杆在压力增加到约
4kN时突然弯向一侧，继续
增大压力，弯曲迅速增大，
1m
杆随即折断。
F
30mm
F
F
结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏
F
性质完全不同！
• 短压杆的破坏属于强度问题
1m
• 长压杆的破坏则属于能否 保持其原来的直线平衡状 态的问题（稳定性问题）
l2
公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）； 2.线弹性范围内,小变形； 3.两端为铰支座。
? I min
由于两端球铰约束，允许杆件在 任意纵向平面内发生弯曲，因此 杆件弯曲变形一定发生在抗弯能 力最小的纵向平面。
Fcr
2 EImin
l2
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
kl
0
0
1
0
sinkl cos kl
sin kl 0 kl n
k n Fcr
l
EI
临界力 Fcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且
杆将绕惯性矩I最小的轴弯曲。
Fcr
2 EI min l2
该式由瑞士科学家欧拉于 1744年提出，故称两端铰支 压杆临界力的欧拉公式
Fcr
2 EImin
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
EI
EI
w " Fcr w w " k 2w 0 EI
其中:k 2 Fcr EI
③微分方程的通解：
w Asinkx Bcos kx
w Asinkx Bcos kx
④确定积分常数A、B： w(0) w(l ) 0 k 2 Fcr EI
即:
A A
0 sin
B kl
0 B cos
理想压杆： ➢均质材料 ➢ 压力作用线与轴线重合 ➢ 直杆
一、压杆稳定问题的提出
两根相同材料（松木）制成的杆，
σb=20MPa；A＝10mm×30mm
F
短杆长：l＝30mm 两杆的极限承载 长杆长：l＝1000mm 能力是否相同？
1m
若按强度条件计算，两根杆压 F
缩时的极限承载能力均应为：
30mm
桁架吊索式公路桥
压杆失稳的严重后果：
案例1 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目 扩建、加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使 大楼倒塌死502人，伤937人。
压杆失稳的严重后果：
案例2 2010年1月3日下午14:20，在昆明新机场的配套引桥 工程在混凝土浇筑施工中，突然发生了支架垮塌事故，造成7 人死亡，8人重伤，26人轻伤，直接经济损失616.75万元。
在机械工程中的一些受压杆件如千斤顶、活 塞连杆、托架结构的压杆等和在建筑工程中的受 压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳 定性要求。
§10.2 压杆稳定性的概念
一、平衡的稳定性
稳定平衡：
干扰平衡的外力消失 后，小球能自动回到原 来的平衡位置
不稳定平衡：
干扰平衡的外力消 失后，小球不能回到 原来的平衡位置
例10.1 一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长 l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界压力。
解 查型钢表得
y
Iz=2370cm4，Iy=158cm4
z
Fcr
2 EImin
l2
2 EI l2
y
2 200 109 158 108
32
N
346103 N 346kN
由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆就会失稳。
3、不稳定的平衡状态
当压力大于临 界压力，压杆只 要受到轻微干扰， 就会屈曲，直至 弯折。
原有的直线平衡状态 是不稳定平衡状态。
>Fcr
F>Fcr
弹性压杆的稳定性
F Fcr —稳定平衡状态
F Fcr —不稳定平衡状态
关键 确定压杆的临界力压 Fcr
稳定失效——杆件在压力超过某一值后，在外界扰动下，其 直线的平衡形式将突然转为弯曲形式，致使杆件丧失正常功 能。这种失效形式即为稳定失效。
其原因是桥 下支撑体系 突然失稳， 8m高的桥 面随即垮塌 下来。
压杆失稳的严重后果：
案例3 2000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手 架失稳造成屋顶倒塌，死6人，伤34人。
压杆稳定性问题不容忽视！
研究压杆稳定性的意义：
压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般 都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任 何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破 坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏 性。
对于不同方向具有不同约束条件的情形，计算时，应根据 截面惯性矩和约束条件，首先判断失稳时的弯曲方向，从而确 定截面的中性轴以及相应的惯性矩。
欧拉临界压力公式 : 2 EI
Fcr ( l )2
压杆是否一定 在最小刚度平面 内失稳 ？
在最小刚度平面与最 大刚度平面内支承情况 不同时，压杆不一定在 最小刚度平面内失稳， 必须经过具体计算后才 能确定。
临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
临界应力：
临界压力：
令：
l
i
s cr
Fcr A
2 EI Fcr （l )2
I i2 A 2 EA ( l )2
i
2 EA
2
——压杆柔度或长细比
取决于压杆截面形状和尺
寸、杆长度和支承条件。
欧拉临界压力:
Fcr
2 EI (l )2
2 EA 2
F
30mm
F
F
压杆稳定性：压杆保 持其原来直线平衡状 态的能力。
压杆不能保持其原 来直线平衡状态而突 然变弯的现象，称为 压杆失稳。
稳定失效是区别于强度失效和刚度失效的又一种 失效形式。
二、工程中的稳定问题
二、工程中的稳定问题
二、工程中的稳定问题
桁架稳定性
二、工程中的稳定问题
二、工程中的稳定问题
三、稳定问题与强度问题的区别
压杆
强度问题
稳定问题
平衡状态
直线平衡状态不变
应力
达到强度限值
平衡方程
变形前的形状、尺寸Biblioteka 极限承载能力实验确定
平衡形式发生变化
小于比例限值 ss p
变形后的形状、尺寸 理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
§10.3 细长压杆临界压力的欧拉公式
思考:1、什么压杆才是细长压杆？ 2、临界力Fcr与哪些因素有关？它是由外力确定的吗？
临界平衡：
干扰平衡的外力消失 后，小球可在任意位置 继续保持平衡。
显然，临界平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状态， 也称为随遇平衡。
二、压杆的稳定平衡状态与不稳定平衡状态 1、稳定的平衡状态
<Fcr
扰动力
<Fcr 扰动力撤除 后，能恢复到 原有的直线平 衡状态。
原有的直线 平衡状态是稳 定平衡状态。
3.142 10 109 2.88 105
(0.5 8)2
N
177kN
木柱的临界力: Fcr=Fcr,y=123kN 压杆绕Y轴弯曲。
此例说明，当在最小刚度平面与最大刚度平面内支承情况不同时，压杆不 一定在最小刚度平面内失稳，必须经过具体计算后才能确定。
§10.4 压杆的临界应力 一、临界应力与柔度
（1）计算最大刚度平面内的临界力
两端铰支，长度系数μ=1
Fcr , y
2 EI y ( l )2
3.142 10109 8105 (1 8)2
N
123103 N 123kN
（2）计算最小刚度平面内的临界力。
两端固定，长度系数μ=0.5
8m
120
Fcr
Fcr
y z
200
Fcr ,z
2 EIz ( l )2
一端固定 另端铰支
两端固定
Fcr
Fcr
Fc
失
rB
稳 时
B
B
D
挠
曲 线
C
形
C
状
A
A