F
不稳定平衡
C
C C
闽 南
临界荷载与约束形式、材料性能、杆件几何 及刚度有关。
B 分叉点
稳定平衡
Fcr FC
理
工 稳定性准则
学
最大工作压力 F < 临界荷载 Fcr
院
o
v
Pinned-pinned
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
闽 南 理 工 学 院
材料力学 Mechanics of Materials
L / i 11.732 / 0.01 173.2 p 100
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
压杆的稳定条件
图示支架，材料均为Q235 钢。弹性模量E=200GPa，
许用应力[]＝160MPa。
A
C端受垂直载荷F＝15kN作
用。已知AC梁是14号工字
闽
钢，其抗弯截面系数Wz＝ 102cm3， 截 面 积 A＝21.5cm2。
南 BD为直径40mm的圆截面杆，
理 p＝100，稳定安全系数nst=
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
临界应力
欧拉公式的适用范围
欧拉公式限于材料处于线弹性的情况。所以，欧拉公式也只能在
杆内压应力不超过比例极限p时才适用。于是要求
cr
2E 2
p
闽 南
称为杆的柔度或长细比
l
i
理 工 或者是 学
E
p
p
院
材料力学 Mechanics of Materials
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
临界应力例题
l
i
0.5 300mm 3.46mm
43.3 o
61.6
属于小柔度杆。临界应力就是屈服极限
闽
cr =s＝235MPa，
南
理
临界力
工 学
Fcr= crA = 235106Pa1220106m2 = 56.4 kN
院
第十章 压杆稳定
临界应力总图
cr cr=s, b
cr=ab
非弹性失稳
p
强度极限
cr=2E/2 欧拉曲线
闽
南
o
p
理
粗短杆 中长杆
细长杆
工
学 院
以Q235钢为例，材料的E=206GPa，p=200MPa
p E / p 100
0≈61.6
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
Buckling of Columns
稳定平衡、临界荷载 (Stable Equilibrium，Critical Load)
受压杆
不产生破坏，安全
满足强度要求，即 max []
产生突然的横向弯曲
而丧失承载能力
短粗杆 长细杆
闽 南
b 12 103 mm 3.46mm
12
12
闽
南
（1）一端固定，一端自由的压杆
理 工
l
i
2 300mm 3.46mm
173.2
p
学 院
Fcr
2E 2
bh
2 206 109 Pa 12 20 106 m2 173.22
16.3kN
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
D
工 2.5。校核该结构的安全性。
学
院
1.5m 30o
0.75m
FBy
C
B F
FB FBy
30o
FBx
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
压杆的稳定条件
解：1，梁AC受拉和弯，B点的弯矩最大
Mmax 15kN 0.75m 11.25kN m
FBy 22.50kN, FBx 38.97kN
最大工作应力小于 材料的极限应力
失去稳定性
理
工
建立不同的准则，即稳定性条件，确保压杆不失稳
学
院
工作最大值 < 临界值
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
平衡的稳定性
弹性杆件 稳定直线平衡
F Fcr F Fcr
F Fcr
F Fcr 微小扰动
弯曲
恢复直线平衡
除去扰动
第十章 压杆稳定
Buckling of Columns
理想压杆
①均质、线弹性材料。 ②理想直杆，荷载沿轴线作用。
欧拉公式
Fcr
2 EI
Le 2
2 EI ( L)2
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
闽
南
理
Le L
工
学
院
Le 2L
L L
Le 0.5L L
Le 0.7L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
长度系数 1
2
0.5
0.7
x
M max Wz
FAx A
11.25 103 N m 102 106 m3
38.97 103 N 21.5 104 m2
闽
(110.29 18.13)MPa 129.10MPa [ ] 160MPa
南
所以梁AC 的强度满足要求。
理
工
2，BD杆的稳定性
学 院
BD杆长度 l＝1.732m，两端铰接，＝1。截面的惯性半径 i＝d/4=40mm/4=10mm。杆的柔度
临界应力例题
（2）两端铰支压杆 l 1 300mm 86.6 i 3.46mm
此时o< < p，属于中柔度杆。
闽 cr = a b = 304MPa1.12MPa86.6 = 207 MPa
南 理
Fcr= crA = 207106Pa1220106m2 = 49.7 kN
工
学
院
（3）两端固支的压杆
临界应力例题
矩 形 截 面 压 杆 的 截 面 宽 和 高 分 别 为 b＝12mm，h＝20mm。 杆 长 l=300mm。材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa。试求此杆在（1） 一端固支，一端自由；（2）两端铰支；（3）两端固支这三种情况 下的临界力。
解：
imin
Imin A
hb3 12bh
v
闽
不稳定直线平衡
南
F Fcr
微小扰动
弯曲
理
新的弯曲平衡
除去扰动
工
学
随遇平衡
院
F Fcr 除直线平衡形式外，无穷小邻域内，可能微弯平衡
压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变，称为失稳
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
稳定条件
稳定的直线平衡与不稳定的直线平衡之间 的平衡状态称为临界平衡状态。对应的荷 载称为临界荷载。
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
压杆的稳定条件
压杆的稳定条件
F Fcr nst
cr
nst
[ ]st
闽
南
压杆稳定也常用安全系数法做稳定校核。为了使压杆有足够的安全度， 必须使工作安全系数大于规定的稳定安全系数，即
理
工
学 院
n
Fcr F
cr
nst
材料力学 Mechanics of Materials