案例分析
1．求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】（1） ；（2） ；
（3） ．
2．用分数指数幂的形式表示下列各式 ：
（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】根式运算一般先化为分数指数幂再进行运算比较方便．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
3．求下列函数的定义域；
（1） ；
（2） ．
【解析】（1） 有意义当且仅当 ； 对一切实数 都有意义： 有意义当且仅当 ，
2．【解析】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
5． ．【解析】 ．
自主探究
1．【解析】平方根、立方根含义及符号表示如下：
（1）如果 ，那么 叫做 的平方根．
正数的平方根有两个，且互为相反数，其中正平方根称为算术平方根，记作 ，负平方根记作 ， 的平方根记为 ．
（2）如果 ，那么 叫做 的立方根．若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ．实数 的立方根是唯一的，记作： ．
5． 次方根的意义， ．
6．分数指数幂
（1）正数的正分数指数幂： __________（）
（2）正数的负分数指数幂： __________（）0的正分数源自数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
7．有理数指数幂的运算法则：
（1） __________（）
（2） __________（）
（3） __________（）
（3）进行根式运算一般先化为分数指数幂再进行运算往往比较方便，分数指数幂的计算与化简，要注意多项式乘法分式的应用．
8．分数指数幂
基础梳理
6． （ ，且 ）： （ ，且 ）．
7． （ ）： ：
基础达标
1． ．
2． ．【解析】 ．
3． ．【解析】A． ；B． ；C． ；D． ．
4． ， ．【解析】因为 ，所以 的平方根有两个： 与 ；而 ，所以 的立方根是 ．
2．幂指数表示与我们的生活息息相关，下一列实际问题的结果果都要用到幂指数表示，请用幂指数把它们的结果表示出来，并总结这些问题的共同特点．
（1）某市人口平均每年增长率为 ，2000年人口数为1万，则3年后人口数为多少万？
（2）国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年 （国内生产总值）年平均增长率为 ，则十年后 为2000年的多少倍？
8．分数指数幂
张长印
学习目标
1．理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，理解 次方根式的概念．
2．熟练掌握用根式与分数指导数幂表示一个正实数的算术根．
3．能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化．
一、夯实基础
基础梳理
1．整数指数幂的概念．
（1）正整数指数幂： ．
（2）零指数幂： ．
（3）负整数指数幂： ．
2．整数指数幂的运算性质：
（1） ；（2） ；（3） ．
3．如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根；如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根．
4．如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ，且 ．
（1）当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时， 的 次方根用符号 表示．
故所求函数定义域为： ．
（2） 有意义当且仅当 ； 有意义当且仅当 ，
故所求函数定义域为： ．
4．已知 ，若 ，求 ．
【解析】由 得 ，
，即 ．
所以 ，
故 ．
5．从盛满1升纯酒精的容器中倒出 升，然后用水填满，再倒出 升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
【解析】设第 次倒完后容器中剩下的纯酒精的升数为 ，则第 次倒完后容器中剩下的纯酒精的升数为 ，则从第1次开始，容器中剩下的纯酒精的升数依次为： ， ， ， ， ．这样进行5次，容器中和剩下的纯酒精的升数为 ．
三、能力提升
能力闯关
1．已知 ，求 的值．
2．化简 ．
3．设 ．
（1）将 化简为关于 的幂的形式．
（2）是否存在 ，使得 是关于 的整数指数幂？
拓展迁移
1．化简 得（）
A． B． C． D．
2．已知实数 满足方程 ．
（1）试找出一组满足方程 的实数 ；
（2）化简方程 ，使结果不含根式．
挑战极限
1．是否存在无理数 ，使得 是有理数？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．
基础达标
1．将 化为分数指数幂，其正确的形式是（）
A． B． C． D．
2． 可化简为（）．
A．1B． C． D．
3．下列各式中成立的是（）
A． B． C． D．
4．27的平方根和立方根分别是__________．
5．化简 __________．
二、学习指引
自主探究
1．初中，我们学过平方根、立方根这一重要数学概念，请叙述平方根、立方根这两个概念内容，并指出它们的表示方法．
课程小结
1．对于根式符号 ，要注意以下几点；
（1）当 时， 一般省略不写，即 ；
（2）0的 次方根一定为0，即 ；
（3）当 是大于1的奇数时，对任意实数 ， 都有意义，它表示实数 的 次方根，是一个确定的实数．
（4）当 是大于1的偶数时，对任意非负实数 ， 都有意义，且 时，它表示正数 的正的 次方根，是一个确定的正实数，另一个负的 次方根为 ．
（3）生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡 年后体内碳14的含量 与死亡时碳14的关系为？
（4）某人有银行存入 万元，年利率为 ，按复利计算，5年后，从银行连本带息全部取出，他能取出多少钱？
3．阅读课本，请叙述根式的概念．
4．请总结根式运算性质及根式 化简方法．
5．阅读课本，看看分数指数幂是如何规定的？指数幂有哪些运算性质？
2．若 ， ，则 （ 哦奇数时， 可取一切实数； 为偶数时， ）；
3．对于分数指数幂根，要注意以下几点：
（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式．
， （ ，且 ），0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义， ．
（2）引入分数指数幂后，指数概念就实现了由整数到有理数的扩充，同样，运算性质也扩充了适用范围：设 ，则 ， ．
（2）当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根有符号 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成 ．
（3）负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0，记作 ．
（4）式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．
（5）负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 ，记作 ．