则
1i
K uni Ai ) ∧ ∑ ( v1 j K vnj B j ) =
j∈J
i∈I , j∈J
∑ ⎡ ⎣( u
1i
I v1 j K uni I vni )( Ai U B j ) ⎤ ⎦
∀k ∈ I ∪ J ， 其中 I ∪ J 是 I 与 J 的不交并. 如果 k ∈ I 则 Ck = Ak ，ωrk = urk ； 如果 k ∈ J
3

模糊概念“ α 并且 γ ”简记为 α ∧ γ .由（3）及定义 2 有：
α ∧ γ = {m1 , m4 , m5 , m6 } + {m1 , m4 , m5 , m7 } + {m2 , m5 , m6 } + {m2 , m5 , m6 , m7 }
*
义 的 EM
*
上 的 等 价 关 系 .
α ， β ， γ 可 以 由 EM 中 的 元 素 表 示 为 β = {m1 , m4 } + {m2 , m5 , m6 } + {m1 , m4 , m8 }
，
α = {m1 , m4 } + {m2 , m5 , m6 } γ = {m5 , m6 } + {m5 , m7 } .
2
AFS 理论
AFS 理论由 AFS 代数⎯一族完全分配格和 AFS 结构⎯一种特殊的组合数学对象构
成.AFS 代数、 AFS 结构及其上的一个逆序对合映射构成了 AFS 模糊逻辑系统 ( EM , ∧, ∨,′ ) . 模糊概念的隶属函数及其模糊逻辑运算则是完全由 AFS 结构 ( M ,τ , X ) 和 M 中简单概念 的语义按 AFS 模糊逻辑确定的.
2.1 AFS 代数
[10]-[13]定义了一族完全分配格⎯—AFS 代数.其中 EI 代数用于表示所有由 M 中的 简单概念按 AFS 模糊逻辑系统 ( EM , ∧, ∨,′ ) 合成的复杂概念. EI 的模糊概念的隶属度及模糊逻辑运算.下面介绍这些 AFS 代数.
*本课题得到：国家自然科学基金资助项目（60575039）；国家自然科学基金重点项目（60534010）的资 助。
Ck = Bk
1i
，
ωrk = vrk
，
1≤ r ≤ n
.
为
了
方
便
，
定
义
∑ (u
i∈I
K uni Ai ) + ∑ ( v1 j K vnj B j ) =
j∈J
k ∈I ∪ J
∑ (ω
1k
Kωnk Ck ) .
( EX 1 K X n M , ∧, ∨ )
被称为
X 1 ,K , X n 和 M 上 的 EI n +1 代 数 . X 1 K X n ∅ 是 EX 1 K X n M 的 最 大 元 ， ∅ K ∅M 是 EX 1 K X n M 的最小元.
1
引言
为了形式化地量化概念，1965 年美国控制论专家 Zadeh 提出了模糊集思想[26]，自
此模糊集与系统被广泛地应用和发展.面对广泛地同时存在于现实世界自然语言描述的人 类的主观模糊性和经典数学描述的随机信息的客观不确定性， 1995 年 AFS （Axiomatic Fuzzy Set）理论[11，13]（公理模糊集理论）被首次提出.作为模糊集理论的一种新的研究方法， AFS 理论应用 AFS 代数和 AFS 结构来描述自然语言语义的不确定性和原始数据随机分布 的不确定性，为模糊概念的隶属函数及其逻辑运算提供了客观统一的确定方法，克服了传 统研究方法中隶属函数确定的主观性和模糊逻辑算子选择的随意性.10 年来，AFS 理论不 断发展和完善，逐步形成了一套完整的理论体系.针对实际问题，一些新的方法在 AFS 理 论的框架内被提出，如故障诊断[1]、模糊聚类分析[2，3，24]、模糊分类器设计[4]、模糊 认 知 图 [1,5] 、 模 糊 决 策 树 [6] 、 信 用 分 析 [7] 、 模 糊 信 息 处 理 [25] 等 . 著 名 数 据 （/pub/machine-learning-databases）和实际问题都验证了这些算法的有效性和 准确性，这进一步说明 AFS 理论为智能系统提供了新的理论框架和应用方法.近来，AFS 理论与概率理论相结合[8]，将人类主观的模糊性和客观的不确定性统一起来.
财产 0 0 34 80 2 28 90 45 98 0
男性 是 否 否 是 是 否 是 是 否 否
女性 否 是 是 否 否 是 否 否 是 是
M 中的 10 个概念可以生成许多新的概念，如：α = ( m1 ∧ m4 ) ∨ ( m2 ∧ m5 ∧ m6 ) 其语
义 为 ： “ 年 长 且 财 富 多 的 人 ” 或 者 “ 身 高 高 且 财 产 多 的 男 性”. β = ( m1 ∧ m4 ) ∨ ( m2 ∧ m5 ∧ m6 ) ∨ ( m1 ∧ m4 ∧ m8 ) 含有语义：“年长且财富多的人”或 者“身高高且财产多的男性”或者“年长、 财富多且头发黑的人” . γ = ( m5 ∧ m6 ) ∨ ( m5 ∧ m7 ) 含有语义：“财产多的男性”或者“财产多的女性”. EM = EM / R ，其中 R 是定义 2 中所定
其中， 符号 即
∑
i∈I
表示元素
∑ (u
i∈I
1i
K uni Ai ) 是由“+”号隔开的不计顺序的诸 u1i K uni Ai 组成的.
∑ (u
i∈I
1i
K uni Ai ) 和 ∑ u1 p( i ) K unp(i ) Ap(i ) 表示 EX 1 K X n M * 中的同一元素，如果 p：I→I
∀ ∑ ( u1i K uni Ai ) ， ∑ ( v1 j K vnj B j ) ∈ EX 1 K X n M ，
i∈I j∈J
∑ (u
i∈I i∈I
1i
K uni Ai ) ∨ ∑ ( v1 j K vnj B j ) =
j∈J
k∈I ∪ J
∑ (ω
1k
Kωnk Ck )
(2) (3)
∑ (u
n +1
代数用于表示 EM 中
1

定义 1[10] 设 X 1 , X 2 ,K , X n , M 是 n + 1 个非空集合.集合 EX 1 K X n M 定义为：
*
⎧ ⎫ EX 1 K X n M * = ⎨∑ ( u1i K uni Ai ) Ai ∈ 2 M , uri ∈ 2 X r , r = 1, 2,K , n, i ∈ I , I 是一非空指标集 ⎬ ⎩ i∈I ⎭ ⎧ ⎫ * M 当 n = 0 时， EM = ⎨∑ Ai Ai ∈ 2 , i ∈ I , I 是一非空指标集 ⎬ (1) ⎩ i∈I ⎭
i∈I
(
)
是一一映射. 定义 2[10] 设 X 1 , X 2 ,K , X n , M 是 n + 1 个非空集合.在 EX 1 K X n M 上的一个二元关
*
系 R 定义如下： ∀
∑ (u
i∈I
1i
K uni Ai ) ， ∑ ( v1 j K vnj B j ) ∈ EX 1 K X +1 代数为 EI 代数 ( EM , ∧, ∨ ) .值得注意的是用少数几个模糊概念和分
明概念生成的 EM 可以表示非常多的概念，∧ ，∨ 是这些模糊概念的交，并运算，并且 EM 中的每个元素都有其确切的语义. 下面我们先来说明如何由 M 中有限的概念生成新概念. 例 1 设 X = { x1 , x2 ,K , x10 } 是 10 个人的集合, M = {m1 , m2 ,K , m10 } 是他们的 10 个 属性.其中 m1=年老，m2=身高高，m3=体重重，m4=工资高，m5=财富多，m6=男性，m7=女 性，m8=头发颜色黑，m9=头发颜色白，m10=头发颜色黄.关于论域 X 和属性集 M ，有下表 1 和关于头发颜色黑、白、黄的 X 上的强度链. 头发黑的程度由强到弱依次为： x7 > x10 > x4 = x8 > x2 = x9 > x5 > x6 = x3 = x1 ； 头发白的程度由强到弱依次为： x6 = x3 = x1 > x5 > x2 = x9 > x4 = x8 > x10 > x7 ； 头发黄的程度由强到弱依次为： x2 = x9 > x4 = x8 = x5 > x10 > x6 = x3 = x1 = x7 .
i∈I j∈J i∈I j∈J
显 然 ， R 是 EX 1 K X n M 上 的 一 个 等 价 关 系 . 商 集 EX 1 K X n M
R 记为
在关系 R 下等价. 定理 1[10] 设 X 1 , X 2 ,K , X n , M 是 n + 1 个非空集合. ( EX 1 K X n M , ∧, ∨ ) 在如下定义 的二元运算 ∧ ， ∨ 下形成一个完全分配格：
= {m1 , m4 , m5 , m6 } + {m1 , m4 , m5 , m7 } + {m2 , m5 , m6 } .
2.2 AFS 结构及 AFS 模糊逻辑系统
定义 3[2] 设 ζ 是论域 X 上的一个属性或概念， ζ 与 X 上的一个二元关系 Rζ （即
Rζ ⊆ X × X ）相对应，其中 ( x, y ) ∈ Rζ ⇔ x 以某种程度属于 ζ 且 x 属于 ζ 的程度强于
由定义 2 可以证明：
，
α = {m1 , m4 } + {m2 + m5 + m6 } = {m1 , m4 } + {m2 , m5 , m6 } + {m1 , m4 , m8 } = β .