北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科） 2011.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．设全集U R =，{ |(2)0 }A x x x ，{ |ln(1) }B x yx ，则U ()A B C 是（A ）2, 1-（）（B ）[1, 2)（C ）(2, 1]-（D ）1, 2（）2．要得到函数sin 24y x π=-（）的图象，只要将函数sin 2y x =的图象 （A ）向左平移4π单位（B ）向右平移4π单位 （C ）向右平移8π单位（D ）向左平移8π单位3．设，，是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题 ①若，，则γα⊥； ②若l 上两点到α的距离相等，则α//l ；③若l，//l ，则；④若//，l ，且//l ，则//l .其中正确的命题是（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ (D)③④4．下列函数中，在(1, 1)内有零点且单调递增的是（A ）12log y x （B ）21xy（C ）212yx (D) 3y x5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn S a , 则2a 等于（A ） 4 （B ）2 （C ）1 （D ） -26.若A 为不等式组0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤ 表示的平面区域，则a 从-2连续变化到1时，动直线x y a+=扫过A 中的那部分区域的面积为（A ）913 （B ）313 （C ）72 (D)747．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 498．如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1AC 平面1B EF ；②1B EF 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关.其中正确判断的个数有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知3cos()5x π+=，(, 2)x ππ∈，则tan x = .10．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，CD 交BA 的延长线于点E .若3AB =，2ED =，则 BC 的长为________.11．曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0的直角坐标方程分别为 ， ，两条曲线的交点个数为 个.12. 已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的侧面积等于 .13．已知点1F ，2F 分别是双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 .14． 已知数列*{} ()n a nN 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123......k a a a a ⋅⋅⋅⋅ 为整数的数*()k k N ∈叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 .E DCBAO三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知△ABC 中，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设向量(cos , cos 2)A A =m ，12(, 1)5=-n ，求当⋅m n 取最小值时，)4tan(π-A 值.16．（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ，90ACB ，侧面PAB 为等边三角形，侧棱22PC．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求证：平面PAB 平面ABC ；（Ⅲ）求二面角B AP C --的余弦值．17．（本小题满分13分）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+- ()a R ∈. （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程； （Ⅱ）当102a ≤<时，讨论()f x 的单调性.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ），() 0,()() 0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩（Ⅰ）若(1)0f -=， 且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求()F x 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k的取值范围；CABP（Ⅲ）设0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是否大于0？19．（本小题满分14分）设椭圆C ：22221x y a b(0)a b的左、右焦点分别为12, F F ，上顶点为A ，过点A与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1222F F F Q 0，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切. 过定点(0, 2)M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线1l 的斜率0k，在x 轴上是否存在点(, 0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形. 如果存在，求出m 的取值范围， 如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数λ满足MG MH λ=，求λ的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数2()1ax bf x cx +=+（a ，b ，c 为常数，0a ≠）.（Ⅰ）若0c =时，数列{}n a 满足条件：点(, )n n a 在函数2()1ax bf x cx +=+的图象上，求{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若37a =，424S =，, p q N *∈（p q ≠），证明：221()2p q p q S S S +<+； （Ⅲ）若1c =时，()f x 是奇函数，(1)1f =，数列{}n x 满足112x =，1()n n x f x +=， 求证：2222311212231()()()516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++<.xOyQA·· F 2F 1北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科）参考答案一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCDBADAB二．填空题： 题号 910 111213 14答案4332222(1)1,(1)1xy x y,293 (1, 12)+ 2026三．解答题： 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+，所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. …………………… 3分 因为0A ，所以sin 0A .所以1cos 2B =. ……………………………………………………… 5分 因为0B，所以3B π=. ……………………………………… 7分（Ⅱ）因为12cos cos 25A A ⋅=-+m n ， ……………………………………… 8分 所以2212343cos 2cos 12(cos )5525A A A ⋅=-+-=--m n . ……………… 10分所以当3cos 5A =时，⋅m n 取得最小值.此时4sin 5A =（0A ），于是4tan 3A =. …………………………… 12分所以tan 11tan()4tan 17A A A π--==+. ……………………………………… 13分16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设AB 中点为D ，连结PD ，CD ，………… 1分因为AP BP ，所以PD AB .又AC BC ，所以CD AB . ………………… 2分 因为PD CD D ，所以AB 平面PCD .因为PC平面PCD ，所以PCAB . ……… 4分CABPED（Ⅱ）由已知90ACB，2AC BC ，所以2AD BD CD，22AB.又PAB 为正三角形，且PDAB ，所以6PD. …………………… 6分因为22PC，所以222PC CD PD .所以90CDP.由（Ⅰ）知CDP 是二面角P AB C 的平面角.所以平面PAB 平面ABC . …………………………………………… 8分 （Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知CD 平面PAB .过D 作DE PA 于E ，连结CE ，则CE PA .所以DEC 是二面角B AP C 的平面角. ………………………………… 10分在Rt CDE 中，易求得62DE. 因为2CD ，所以23tan 3CD DECDE. ………………………… 12分 所以21cos 7DEC. 即二面角B AP C 的余弦值为217. …………………………………… 13分 方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知DC ，DB ，DP 两两垂直. ……………………… 9分以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.易知(0, 0, 0)D ，(2, 0, 0)C ，(0,2, 0)A ，(0, 0, 6)P .所以(2,2, 0)AC，(2, 0, 6)PC . ……………………… 10分设平面PAC 的法向量为(, , )x y z n ， 则0,0.AC PCn n 即220,260.x xz令1x ，则1y ，33z. 所以平面PAC 的一个法向量为3(1, 1,)3n. ……………………… 11分 xCABPDz易知平面PAB 的一个法向量为(2, 0, 0)DC .所以21cos, 7||||DC DCDC n n n . …………………………………… 12分 由图可知，二面角B AP C 为锐角.所以二面角B AP C 的余弦值为217. …………………………………… 13分17．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a时，2()ln 1f x xxx，(0,)x .所以222()x xf x x ′，(0,)x . ………（求导、定义域各一分） 2分因此(2)1f ′. 即曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线斜率为1. ………… 3分又(2)ln 22f ， …………………………………………………… 4分所以曲线()y f x =在点(2, (2))f 处的切线方程为ln 20x y. ……… 5分（Ⅱ）因为11ln )(--+-=xaax x x f ， 所以211()a f x axx′221x a x ax -+--=，(0,)x . ………… 7分令2()1g x ax x a ，(0,)x ，①当0a =时，()1g x x ，(0,)x ，当(0,1)x时，()0g x ，此时()0f x ′<，函数()f x 单调递减；……… 8分当(1,)x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x ′>，函数()f x 单调递增. …… 9分 ②当102a <<时，由()0f x ′=即210ax x a -+-=解得11x ，211x a. 此时1110a，所以当(0,1)x 时，()0g x >，此时()0f x ′<，函数()f x 单调递减；…10分1(1,1)x a∈-时，()0g x <，此时'()0f x >，函数()f x 单调递增；……11分1(1, )x a∈-+∞时，()0g x >，此时'()0f x <，函数()f x 单调递减. …12分综上所述：当0a =时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增；当102a <<时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在1(1, 1)a上单调递增；在1(1,)a上单调递减. …………………………………………………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=.因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40.a b a >⎧⎨∆=-=⎩ ……………………… 2分所以24(1)0b b --=. 解得2b =，1a =. 所以2()(1)f x x =+.所以22(1) 0,()(1) 0.x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩ …………………………………… 4分（Ⅱ）因为22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+=222(2)()124k k x --++-， ………………………… 6分 所以当222k -≥或222k --≤时()g x 单调. 即k 的范围是(, 2]或[6,)时，()g x 是单调函数． …………… 8分（Ⅲ）因为()f x 为偶函数，所以2()1f x ax =+.所以220,() 0.ax x F x ax x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩ ……………………………………………… 10分因为0mn <， 依条件设0m >，则0n <.又0m n +>，所以0m n >->.所以m n >-. ………………………………………………………… 12分 此时22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->.即()()0F m F n +>． ………………………………………………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为1222F F F Q0，所以1F 为2F Q 中点. 设Q 的坐标为(3, 0)c -， 因为2AQ AF ⊥，所以2233b c c c =⨯=，2244a c c c =⨯=，且过2, , A Q F 三点的圆的圆心为1(, 0)F c -，半径为2c . …………………………………………… 2分因为该圆与直线l 相切，所以|3|22c c --=. 解得1c，所以2a =，3b.故所求椭圆方程为13422=+y x . …………………………………………… 4分 （Ⅱ）设1l 的方程为2y kx =+（0k >），由222,143ykx x y得22(34)1640k x kx +++=.设11(,)G x y ，22(,)H x y ，则1221634kx x k+=-+. ………………………5分所以1122(, )(, )PGPHx m y x m y 1212(2, )x x m y y .=1212(2, ()4 )x x m k x x21212121(, )(, ())GH x x y y x x k x x =--=--.由于菱形对角线互相垂直，则()PG PH +⋅0GH =. ……………………6分所以21122112()[()2]()[()4]0x x x x m k x x k x x .故2211212()[()2 ()4]0x x x x m k x x k .因为0k >，所以210x x .所以21212()2 ()40x x m k x x k即212(1)()420k x x km.所以2216(1)()42034k k k m k 解得2234k m k =-+. 即234m k k=-+. 因为0k >，所以06m -<≤. 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[ 0). ……………………… 8分 （Ⅲ）①当直线1l 斜率存在时，设直线1l 方程为2y kx =+，代入椭圆方程13422=+y x 得22(34)1640k x kx +++=.由0∆>，得214k >. …………………………………………………… 9分 设11(, )G x y ，22(, )H x y ，则1221634k x x k +=-+，122434x x k=+. 又MG MH λ=，所以1122(,2)=(,2)x y λx y -- . 所以12=x λx . …… 10分所以122=(1+)x +x λx ，2122=x x λx .所以2212122()==1+x +x x x x λλ. 所以2222164()3434(1)k k k λλ-++=+. 整理得2264(1)34kλλ+=+. …………………………………………… 11分 因为214k >，所以26441634k <<+. 即2(1)416λλ+<<. 所以14216λλ<++<. 解得77λ-<<+.又01λ<<，所以71λ-<<. …………………………………… 13分②又当直线1l 斜率不存在时，直线1l 的方程为0x =， 此时(0, 3)G ，(0, 3)H -，(0, 32)MG =-，(0, 32)MH =--， 2323MG MH -=+，所以743λ=-. 所以7431λ-<≤，即所求λ的取值范围是[743, 1)-. ……………… 14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依条件有()f x ax b =+.因为点(, )n n a 在函数()f x ax b =+的图象上，所以()n a f n an b ==+. 因为1(1)()n n a a a n b an b a +-=++-+=，所以{}n a 是首项是1a a b =+，公差为d a =的等差数列. …………………… 1分 所以(1)()2n n n S n a b a -=++⋅(1)2n n nb a +=+⋅. 即数列{}n a 的前n 项和n S (1)2n n nb a +=+⋅. ……………………………… 2分 （Ⅱ）证明：依条件有()27, 434()24.2a b a a b a ++=⎧⎪⎨⨯++⋅=⎪⎩ 即37, 10424.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =+.所以.22)(21n n a a n S n n +=+= ……………………………………… 3分 因为222()p q p q S S S +-+=2222[()2()](44)(44)p q p q p p q q +++-+-+22()p q =--，又p q ≠，所以222()0p q p q S S S +-+<.即221()2p q p q S S S +<+. …………………………………………………… 5分 （Ⅲ）依条件2()1ax b f x x +=+. 因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=.即22011ax b ax b x x +-++=++. 解得0b =. 所以2()1ax f x x =+. 又(1)1f =，所以2a =.故22()1x f x x =+. ……………………………………………………………6分 因为1()n n x f x +=，所以1221n n n x x x +=+. 所以1102x =>时，有10n x +>（n N *∈）. 又1222()112n n n n n nx x x f x x x +===+≤， 若11n x +=，则1n x =. 从而11x =. 这与112x =矛盾. 所以101n x +<<. …………………………………………………………… 8分 所以121(1)1k k k k k k x x x x x x ++-=-⋅+≤1124121k k x x ⋅++-+≤12148222=-. 所以2111111()2111()()8k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x ++++++--=-<-. ………………10分 所以2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++ 1223121111111[()()()]8n n x x x x x x +<-+-++- 1112111211()(2)88n n x x x ++=-=-. …………………12分 因为112x =，1n n x x +>，所以1112n x +<<. 所以1112n x +<<. 所以2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++3121521)816++-<=. …14分。