实验四Stability an alysis of lin ear systems线性系统稳定性分析一、实验目的1 •通过响应曲线观测特征参量和n对二阶系统性能的影响。

2 •熟练掌握系统的稳定性的判断方法。

二、基础知识及MATLAB函数注意：routh ()和hurwitz ()不是MATLAB中自带的功能函数，(在共享文件夹里有劳斯判据和赫尔维茨判据的m文件，把其中的routh.m和hurwitz .m放到MATLAB文件夹下的work文件夹中才能运行)。

1) 直接求根判稳roots()控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。

因此，为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。

MATLAB 中对多项式求根的函数为roots()函数。

若求以下多项式的根s4 10s3 35s2 50s 24，则所用的MATLAB指令为：>> roots([1,10,35,50,24])ans =-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000特征方程的根都具有负实部，因而系统为稳定的。

2) 劳斯稳定判据routh ()劳斯判据的调用格式为：[r, in fo]=routh(de n)该函数的功能是构造系统的劳斯表。

其中，den为系统的分母多项式系数向量，r为返回的routh表矩阵，info为返回的routh表的附加信息。

以上述多项式为例，由routh判据判定系统的稳定性。

>> syms EPS den=[1,10,35,50,24];ra=routh(de n,EPS)r=13524105003024042002400info=[]由系统返回的routh表可以看出，其第一列没有符号的变化，系统是稳定的。

3) 赫尔维茨判据hurwitz ()赫尔维茨的调用格式为：H=hurwitz ( den )。

该函数的功能是构造hurwitz 矩阵。

其中，den为系统的分母多项式系数向量。

以上述多项式为例，由hurwitz判据判定系统的稳定性。

>>de n=[1,10,35,50,24]; H=hurwitz(de n)H=105000135240010500013524由系统返回的hurwitz矩阵可以看出，系统是稳定的。

与前面的分析结果完全一致。

4) 开环增益K。

和时间常数T改变对系统稳定性及稳态误差的影响10K系统开环传递函数为：G(s) 10山，参考以下图片中的仿真程序:s(0.1s 1)(Ts 1)系统开环传递函数为:或0.1 F 两种情况。

学模型，绘制并记录其阶跃曲线。

(3) 理论分析K 。

对稳定性的影响。

保证T=0.1不变，改变K 。

，令K 。

分别等于2,3,4,5 ,围，并对上述各种情况分别判断稳定性。

(4)由实验验证第(3)步的理论分析结果。

分别绘制相应的阶跃响应曲线，并分析K 0变化对系统稳定性的影响。

键入程序:%定义元件参数 R1=10A 5; %电阻参数R 100k10K os(0.1s 1)(Ts 1)式中，K °=R 2/R I , R i100k , R 2 0~ 500k ; TRC, R 100k ,C 取 1 F(1 )输入信号U r 1, C1 F ；改变电位器, 使R 2从0T 500 k 方向变化，观察系统的输出波形，确定使系统输出产生等幅震荡时相应的 R 2值及K 。

值，分析K 。

变化对系统稳定性的影响。

(2) 分析T 值变化对系统的影响。

(3) 观察系统在不同输入下稳态误差变化的情况。

四、软件仿真实现方法(1) 开机执行程序 c:\Matlab\b in\Matlab.exe (或用鼠标双击MATLAB 图标)，(2) 系统开环传递函数为:G(s)10K 。

s(0.1s 1)(Ts 1)取 T=0.1，即令 R 100k , C1 F ；取 K °=1，即令 R 1R 2100k ，建立系统数即将可变电阻R 2分别设置在200,300,400,500k 。

用劳斯判据求出使系统稳定的K 。

值范%电阻参数R 1100kR=10A5;%建立系统传递函数；并绘制其阶跃响应曲线 for i=1:5%给增益K 0赋值%建立第i 个图形窗口 %求系统阶跃响应并作图endK o =2时，系统临界稳定；随着 K 0的增加，系统将 趋于不稳定。

（5）在K °=1 （系统稳定）和 K 0 =2 （系统临界稳定）两种情况下，分别绘制 T=0.1和T=0.01 （即保持R=100k Q 不变，C 分别取1诉和0.1疔）时系统的阶跃响应，分析 T 值变化对系统阶跃响应及稳定性的影响。

键入程序：%定义元件参数 R1=10A5; R=10A5;R2=[1,2,3,4,5]*10A5; 6= 10A （-6）; C2=10A （-7）; T=[R*C1,R*C2];R2=[1,2,3,4,5]*10A 5;%电阻参数 R 2矩阵，包含R 2可取的5个数C1=10A(-6); %电容参数 C 1 1 F C2=10A(-7); %电容参数 C 20.1 FT=[R*C1,R*C2];%时间常数T 矩阵，包含T 可取的两个值K0(i)=R2(i)/R1; num=10*K0(i);%开环传递函数分子多项式模型 den=[0.1*T(1),0.1+T(1),1,0]; %开环传递函数分母多项式模型 Gope n=tf(nu m,de n)%建立开环传递函数G °penGclose=feedback(Gope n,1,-1)%建立闭环传递函数G closefigure(i)t=0:.01:10 step(Gclose,t)运行结果如图3.2-3所示。

可见,%取K0=1，分别绘制T=0.1和T=0.01时的阶跃响应曲线K0=R2(1)/R1;for i=1:2num=10*K0;den=[0.1*T(i),0.1+T(i),1,0];Gope n(i)=tf( nu m,de n) %开环传递函数分子多项式模型%开环传递函数分母多项式模型%建立开环传递函数G op enGclose(i)=feedback(Gope n( i),1,-1) endfigure(1)step(Gclose(1), 'r',Gclose(2), 'g')1.61.41.21eU 0.8mA0.60.40.2Step ResponseTime (sec) %建立闭环传递函数G close0123 456789 10Time (sec)Step ResponseStep Response25020015010050-50-100-150-200Time (sec)图3.2-3 K0取不同值时系统响应曲线运行结果如图3.2-4所示。

可见，时间常数T减少时，系统动态性能得到改善。

%取K o =2，分别绘制T=0.1和T=0.01时的阶跃响应曲线K0=R2 (2)/R1;for i=1:2num=10*K0;den=[0.1*T(i),0.1+T(i),1,0]Gope n(i)=tf( nu m,de n)Gclose(i)=feedback(Gope n( i),1,-1)endfigure(2)hold onstep(Gclose(1), 'r',Gclose(2), 'g')运行结果如图3.2-5所示。

可见%取K。

=2，即使系统临界稳定的K。

值%开环传递函数分子多项式模型%开环传递函数分母多项式模型%建立开环传递函数G°pen%建立闭环传递函数Gd ose%建立第2个图形窗口%系统阶跃响应并作图T从0.1变为0.01时，系统由原来的临界稳定状态变为衰减震荡，稳定性和动态性能均得到改善。

图3.2-4 K o =1 , T 分别取0.1和0.01时系统响应曲线Step Respcnse0.511.52 2,53 3.54 4.5Time (sec).s£o o.4 uStep Response1 2 3 4 5 Time (sec)62.8B 42勺s8.64.21 1 1i 1 ・u _ooo页眉图3.2-5 K0=2 , T分别取0.1和0.01时系统响应曲线三、实验内容1 •系统的特征方程式为2s4 s3 3 s2 5s 10 0,试用三种判稳方式判别该系统的稳定性。

2 •单位负反馈系统的开环模型为K2(s 2)(s 4)(s 6s 25)试分别用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的K值范围。

3,分析开环增益K0和时间常数T改变对系统稳定性及稳态误差的影响，系统开环传递函数为：G(s) 10K0s(0.1s 1)(Ts 1)(0.1s 3)四、实验报告1 •根据内容要求，写出调试好的MATLAB语言程序，及对应的MATLAB 运算结果。

2.记录各种输出波形，根据实验结果分析参数变化对系统的影响。

3•总结判断闭环系统稳定的方法，说明增益K对系统稳定性的影响。

4.写出实验的心得与体会五、预习要求1.预习实验中基础知识，运行编制好的MATLAB语句,2.结合实验内容，提前编制相应的程序。

4.熟悉闭环系统稳定的充要条件及学过的稳定判据G(s)。