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第三章 时间响应分析(第8讲)

X or (s )
1 X 0r ( s) = X i (s) H ( s) X i (s)
1 H (s)

E (s)


E1 ( s )

G (s )
X o (s)
H (s)
图3.6.1误差与偏差关系框图
又 E1 ( s) = X 0 r ( s) − X 0 ( s) 误差与偏差的关系为:
E ( s) = H ( s) E1 ( s)
3.6.5 与干扰有关的稳态偏差 输入信号为零时,系统在干 扰信号作用下的稳态偏差反 映了系统的抗干扰能力。
X i (s )
B (s )


E (s )
G1 ( s )
N (s )

H (s )
X 0 (s)
G2 ( s )
反馈控制系统的典型结构
E ( s) = X i ( s) − B( s) = − B( s) = − X o ( s) H ( s)
E ( s ) = X i ( s ) − B( s )
系统的误差和偏差之间的关系 引入反馈的目的在于利用偏差对系统的输出进行 控制。在输出等于理想输出的时刻,系统无须反 馈回路进行调节,此时系统的偏差为零。故当
X 0 r ( s ) = X 0 ( s ) 时,有:
E ( s) = X i ( s) − B( s) = X i ( s) − X 0 ( s) H ( s) = X i ( s) − X 0r ( s) H ( s) = 0
1 − K 2G20 ( s) −1 ess = lim[ s ⋅ ⋅ ]= s →0 s 1 + K1K 2G10 ( s)G20 ( s) K + 1 1 K2 K1、 K 2 分别为 G1 ( s)、G2 ( s) 的放大系数。可见, 1、 K 2 K
X i (s)
B(s)


E(s)
G1(s)
N (s)

H (s )
X 0 ( s)
G2 ( s )
反馈控制系统的典型结构
1 ε ss = lim ε (t ) = lim sE ( s ) = lim s X i (s) t →∞ s →0 s → 0 1 + H ( s )G ( s )
系统的稳态偏差不仅与系统的结构和参数有关,而 且与系统输入特性的参数有关。
稳态偏差总述
⑴稳态偏差与输入信号的形式有关; 位置信号、速度信号、加速度信号分别对应于阶跃信号、 斜坡信号、抛物线信号,输入该信号引起的稳态偏差分 别称之为稳态位置误差系数、稳态速度误差系数、稳态 加速度误差系数,或称为位置无偏系数、速度无偏系数、 加速度无偏系数,它们表示了稳态的精度。 无偏系数越大,精度越高; 无偏系数为零时稳态偏差为,不能跟随输出; 无偏系数为时稳态无差。
K K = lim ν −2 , K 为加速度无偏系数。 a sν s →0 s
0、Ⅰ型系统 Ⅱ型系统
K a = 0, ε ss = 1 K a = ∞ K a = K, ε ss = 1 K a = 1 K
Ⅲ型或Ⅲ型以上系统 K a = ∞,ε ss = 1 K a = 0 结论:0、Ⅰ型系统不能跟随斜坡输入,因其稳态偏差 为∞;Ⅱ型系统可以跟随斜坡输入,但存在稳态偏差, 可以通过增大K来减小偏差;Ⅲ型或高于Ⅲ型系统对斜 坡输入响应的稳态是无差的(P102图3.6.5)。
K K P = lim G K ( s ) = lim ν 为位置无偏系数。 s →0 s →0 s
ε ss 0型系统为有差系统, =
1 1 = 1+ KP 1+ K
,K越大偏差越小。
Ⅰ型和Ⅱ型系统,
K P = lim
s →0
K ε = ∞ ,ss = 0 ,为无差系统。 ν s
结论:有积分环节的系统,系统阶跃响应的稳态值是 无差的,无积分环节系统则是有差的。可以用提高放 大倍数K的方法来减少误差,但过大的K会影响系统的 稳定性。
X i (s )
N (s )
+⊗ B (s )
E (s )
G1 ( s ) +
+

X 0 (s)
G2 ( s )
H (s )
反馈控制系统的典型结构
3.6.1 系统的误差与偏差
设控制系统的理想输出为 x 0 r (t ) ,实际输出为 x 0(t ) , 系统误差定义为:e(t ) = x0 r (t ) − x0 (t ) 拉氏变换为: E1 ( s) = X 0 r ( s) − X 0 ( s) 系统的偏差是在输入端定义的,即系统的输入与反 馈之差: ε (t ) = xi (t ) − b(t ) 拉氏变换为:

Φ X i ( s) =
1 − GX i (s) , Φ (s) = −G (s) N N H ( s)
得:E1 (s) = X 0r (s) − X 0 (s) = X i (s) − GX (s) X i (s) − GN (s) N (s)
H ( s)
i
=[
1 − GX i (s)]X i (S ) + [−GN (s) N (s)] = Φ X i (s) X i (S ) + Φ N (s) N (s) H ( s)
⑵增加系统的型别时,系统的准确度将提高,但稳定 性将变差; ⑶由线性系统叠加原理,当输入上述多种典型信号的 组合时,输出量的稳态误差为它们分别作用时产生 的稳态误差之和; ⑷对于单位反馈系统,稳态误差等于稳态偏差。对于 非单位反馈系统,可用式
1 E1 ( s ) = E (s) H (s)
将稳态偏差换算成稳态误差进行处理。
若实数极点距虚轴较近,而共轭复极点距 虚轴较远时,取决于实数极点。 一般情况下,一阶因子引起非周期指数衰 减,二阶欠阻尼因子则引起阻尼振荡。 在研究高阶系统时,可以将系统的过渡过 程近似地由主导极点所决定的二阶振荡系统 的过渡过程所代替。
3.6 系统误差分析与计算
系统的误差是指期望的输出与实际输出之间的差。 系统的输出量由瞬态响应和稳态响应构成,系统误 差也分为瞬态误差和稳态误差,它们都是由系统本身 的结构和输入量及其导数的连续变化引起的。
⑶当输入为加速度信号时,系统的稳态偏差为:
ε ss
1 1 1 = lim sE ( s ) = lim s = X i ( s ) = lim 2 s →0 s → 0 1 + H ( s )G ( s ) s → 0 s H ( s )G ( s ) Kα
s →0 s →0
K a = lim s 2GK ( s ) = lim s 2
X i (s) E(s)
N (s)
B(s)


G1(s)

H (s )
X 0 (s)
G2 ( s)
反馈控制系统的典型结构
G1(s)G2 (s) Xi (s) G2 (s)N(s) 1 = + X 0r ( s) = X i ( s) 1+ H (s)G1(s)G2 (s) 1+ H (s)G1(s)G2 (s) ,由于 H (s)
G0 ( s ) =
∏ (T s + 1)
i
∏ (T s + 1)
i j =1
i =1 n
lim G
s →0
0
( s) = 1
KG0 ( s) GK ( s) = sγ
⑴当输入为单位阶跃信号时,系统的稳态偏差为:
ε ss = lim sE ( s ) = lim s
s →0 s →0
1 1 1 X i ( s ) = lim = s →0 1 + H ( s )G ( s ) 1 + H ( s )G ( s ) 1+ KP
⑵当输入为单位斜坡信号时,系统的稳态偏差为:
1 1 1 X i ( s ) = lim ε ss = lim sE ( s ) = lim s = s →0 s → 0 1 + H ( s )G ( s ) s → 0 sH ( s )G ( s ) KV K K KV = lim sGK ( s ) = lim s ν = lim ν −1 ,K V 为速度无偏系数。 s →0 s →0 s s →0 s
X or (s)
1 H ( s)
X i (s)
⊗ −
E (s)
G(s)
⊗ − X (s) o
E1 ( s)
H (s)
1 E (s) H (s)
图3.6.1误差与偏差关系框图

E1 ( s ) =
对单位反馈系统,有 H ( s ) = 1 从而: 偏差=误差
3.6.2 误差e(t)的一般计算
在一般情况下,输入信号 X i (s) 和干扰信号 N (s) 同时 作用于系统,如常用反馈控制系统典型结构图:
e Φ X i ( s ) 为无干扰信号[n(t ) = 0]时误差[ (t ) ]对输入信号
[xi (t)] 的传递函数。
Φ N ( s ) 为无输入信号时[ xi (t ) = 0]误差对干扰信号的传函。
二者总称为误差传递函数,反映了系统的结构与参 数对误差的影响。
3.6.3 系统的稳态误差与稳态偏差
0型系统 KV = 0,ε ss = 1 KV = ∞ Ⅰ型系统 KV = K, ε ss = 1 KV = 1 K Ⅱ型或Ⅱ型以上系统 KV = ∞,ε ss = 0 结论:0型系统不能跟随斜坡输入,因其稳态偏差为 ∞;Ⅰ型系统可以跟随斜坡输入,但存在稳态偏差,可 以通过增大K来减小偏差;Ⅱ型或高于Ⅱ型系统对斜坡 输入响应的稳态是无差的(P101图3.6.4) 。
X i (s)
B(s)


E(s)
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