北京市朝阳区2019-2020 学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A ．M={π}，N={3.14159}B．M={2，3｝，N=｛（2，3）}C ．M={x| ﹣1<x≤1，x∈N} ，N={1} D．，2．若a> b，则下列命题成立的是（）A ．ac> bc B．C．22D．ac 2≥ bc232f （1）=﹣2 f （1.5 ）=0.625f （1.25 ）=﹣0.984 f （1.375 ）=﹣0.260f （1.438 ）=0.165 f （1.4065 ）=﹣0.052那么方程32﹣﹣的一个近似根（精确到）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k>4？B．k>5？C．k> 6？D．k>7？5．给定函数①，②，③ y=|x 2﹣2x| ，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①④ B ．②④ C．②③ D．①③6．已知a= ，b=20.3，c=0.3 ，则a，b，c 三者的大小关系是（A．b>c>a B．b>a>c C．a> b>c D．c>b>a8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10 株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（）A．甲> 乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B．甲 < 乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C．甲< 乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D．甲> 乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定S）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家）、填空题：本大题共6 小题，每小题5分，共30分.9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（的位置，则王老师行走的路线可能是（10．已知函数x）=a（x﹣a）（x+a+3），g（x）=2x﹣2，若对任意x∈R，总有f （x）< 0或g（x）<0成立，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．［﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）则的值是7．函数的图象的大致形状是（）11．已知函数12．从某小学随机抽取 100 名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图） ．由图 中数据可知 a= ．若要从身高在 [120 ，130﹚， [130 ，140﹚， [140 ， 150]三组内的学生中，用 分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动， 则从身高在 [140 ，150] 内的学生中选取的人数应为的图象关于 y 轴对称，则 a=16．关于函数① 对于任意的 x ∈R ，都有 f （f （x ））=1； ② 函数 f （ x ）是偶函数；③ 若 T 为一个非零有理数，则 f （x+T ）=f （x ）对任意 x ∈R 恒成立；④ 在 f （x ）图象上存在三个点 A ， B ，C ，使得△ ABC 为等边三角形． 其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共4 小题，共 40分.17．已知函数 的定义域为集合 A ，函数 g （ x ） =lg （﹣ x 2+2x+m ）的定义域为集合 B ． Ⅰ）当 m=3时，求 A ∩ ?R B ；Ⅱ）若 A ∩ B={x| ﹣1< x <4} ，求实数 m 的值．18．空气质量指数 PM2.5（单位： μ g/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表 空气污染越严13．已知 0<x <1.5 ，则函数 y=4x （3﹣2x ）的最大值为 14．如图，一不规则区域内，有一边长为 区域内（含边界）的黄豆数为 360 颗， 平方米．（用分数作答）1 米的正方形，向区域内随机地撒 1000 颗黄豆，数得落在正方形 以此实验数据 1000 为依据可以估计出该不规则图形的面积为15．若函数有以下四个命题：某市2012年3月8日﹣4月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．19．已知定义域为R的单调减函数f （x）是奇函数，当x>0 时，．（Ⅰ）求f （0）的值；（Ⅱ）求f （x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t ∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）<0恒成立，求实数k 的取值范围．20．定义在（0，+∞）上的函数f （x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f （kx）=kf （x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f （x）为k 阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f （x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3] 时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k 阶伸缩函数，且当x∈（1，k] 时，f （x）的取值范围是[0 ，1），求f （x）在（0，k n+1] （n∈N*）上的取值范围．北京市朝阳区2019-2020 学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（）A．M={π}，N={3.14159} B．M={2，3}，N={（2，3）}C．M={x| ﹣1<x≤1，x∈N} ，N={1} D ．，【考点】集合的相等．【分析】根据两个集合相等，元素相同，排除A；根据两个集合相等，元素相同，排除B 先解集合M，然后判断元素是否相同，排除C先化简集合N，然后根据集合元素的无序性，选择D【解答】解：A：M={π}，N={3.14159} ，因为π ≠3.14159 ，故元素不同，集合也不同，故排除B：M={2，3}，N={（2，3）}，因为M的元素为2和3，而N的元素为一个点（2，3），故元素不同，集合不同，故排除C：M={x| ﹣1<x≤1，x∈N}，N={1}，由M={x| ﹣1<x≤1，x∈N}得，M={0，1}，故两个集合不同，故排除D：∵∴ = ，根据集合元素的无序性可以判断M=N，故选择D故答案为D 【点评】本题考查两个集合相等的条件，涉及到元素相同以及集合元素的三个性质：无序性，互异性，确定性，为基础题2．若a> b，则下列命题成立的是（）A．ac>bc B．C．D．ac 2≥bc2【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】通过给变量取特殊值，举反例可得A、B、C都不正确，对于a> b，由于c2≥0，故有ac 2≥bc 2，故D成立．【解答】解：∵ a> b，故当c=0 时，ac=bc=0，故A 不成立．当b=0 时，显然B、C 不成立．2 2 2对于a> b，由于c2≥0，故有ac 2≥bc 2，故D成立．故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．32那么方程﹣﹣的一个近似根（精确到）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点】二分法求方程的近似解．【专题】应用题．【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项【解答】解：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（ 1.4065 ，1.438 ）中，观察四个选项，与其最接近的是C，故应选C 【点评】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于基本概念的运用题4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k>4？B．k>5？C．k> 6？D．k>7？【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S是否继续循环循环前11/第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557否故退出循环的条件应为k> 4故答案选A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．给定函数①，② ，③ y=|x 2﹣2x| ，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①④ B ．②④ C．②③ D．①③ 【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据增函数、减函数的定义，对数函数的单调性，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性即可判断每个函数在（0，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：① y= ，x 增大时，增大，即y 增大；∴该函数在（0，1）上单调递增；②，x增大时，x+1 增大，减小；∴该函数在（0，1）上单调递减；2∴x∈（0，1）时，y=﹣x2+2x，对称轴为x=1；∴该函数在（0，1）上单调递增；④ ，∴指数函数在（0，1）上单调递减；∴在区间（0，1）上单调递减的函数序号是②④．故选：B．【点评】考查增函数、减函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，对数函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及指数函数的单调性．6．已知a= ，b=20.3，c=0.3 0.2，则a，b，c 三者的大小关系是（）A．b>c>a B．b>a>c C．a> b>c D．c>b>a 【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵ ，∴b>c> a．故选A．【点评】熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键．7．函数的图象的大致形状是（）【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y 轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．解答】解：∵ y=当x> 0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a>1，所以是增函数的形状，当x<0 时，其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a>1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C 符合题意故选C．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．8．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10 株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲，乙和方差进行比较，下面结论正确的是（）A．甲> 乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定B．甲< 乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定C．甲< 乙，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定D．甲> 乙，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据茎叶图，计算甲、乙的平均数，再根据数据的分布情况与方差的概念，比较可得答案．【解答】解：根据茎叶图有：①甲地树苗高度的平均数为=28cm，乙地树苗高度的平均数为=35cm，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；②甲地树苗高度分布在19～41 之间，且成单峰分布，且比较集中在平均数左右，乙地树苗高度分布在 10～47 之间，不是明显的单峰分布，相对分散些； ∴甲地树苗高度与乙地树苗高度比较，方差相对小些，更稳定些； 故选： B ．【点评】本题考查了利用茎叶图估计平均数与方差的应用问题，关键是正确读出茎叶图，并分析数据，是 基础题．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧， 结合所给的选项得出结论．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（ t ）之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧， 结合所给的选项， 故选： C ．【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．10．已知函数 f （x ）=a （x ﹣a ）（x+a+3），g （x ）=2x ﹣2，若对任意 x ∈R ，总有 f （x ）＜ 0或 g （x ）＜0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣ 4）B ．［ ﹣4，0）C ．（﹣ 4，0）D ．（﹣ 4， +∞）【考点】函数的值． 【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可知 x ＜ 1时， g （ x ）＜ 0成立，进而得到 a （x+a ）（x ﹣2a+1）＜0对 x ≥1均成立，得到 a满足的条件 ，求解不等式组可得答案．【解答】解：由 g （x ） =2x ﹣ 2＜ 0，得 x ＜ 1，故对 x ≥1 时， g （x ）＜ 0不成立， 从而对任意 x ≥1，f （x ）＜0 恒成立，由于 a （ x ﹣ a ）（ x+a+3）＜ 0 对任意 x ≥1 恒成立，如图所示， 则必满足 解得﹣ 4＜ a ＜0． 则实数 a 的取值范围是（﹣ 4， 0）．9．如图是王老师锻炼时所走的离家距离（的位置，则王老师行走的路线可能是（S ）与行走时间）t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家B ．C ．故选：C．属于中档题．二、填空题：本大题共6 小题，每小题5分，共30分.11．已知函数则的值是﹣2 ．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】将x= 代入函数的表达式，求出函数值即可．【解答】解：f （）= =﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了求函数值问题，考查分段函数以及对数函数的性质，是一道基础题．12．从某小学随机抽取100 名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a= 0.03 ．若要从身高在[120 ，130﹚，[130 ，140﹚，[140 ，150] 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150] 内的学生中选取的人数应为 3 ．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140 ，150] 内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10 ×（0.005+0.035+a+0.02+0.01 ）=1，解得a=0.03 ．由直方图可知三个区域内的学生总数为100× 10×（0.03+0.02+0.01 ）=60 人．其中身高在[140 ，150]内的学生人数为10 人，所以身高在 [140 ， 150]范围内抽取的学生人数为 ×10=3人．故答案为： 0.03 ， 3．点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面 积之和为 1．同时也考查了分层抽样的特点， 即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，13．已知 0<x <1.5 ，则函数 y=4x （3﹣2x ）的最大值为．【考点】二次函数的性质． 【专题】函数的性质及应用．【分析】将二次函数进行配方，根据二次函数的图象和性质进行求值即可． 【解答】解：∵ y=4x （3﹣ 2x ）=﹣ 8x 2+12x=﹣8（x ﹣ ）2+ ， ∴当 x= 时，函数取得最大值 ， 故答案为： ．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方得到函数的对称轴是解决二次函数的关键．14．如图，一不规则区域内，有一边长为 1 米的正方形，向区域内随机地撒 1000 颗黄豆，数得落在正方形 区域内（含边界）的黄豆数为 360 颗，以此实验数据 1000为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米．（用分数作答）【考点】模拟方法估计概率．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据几何概型的意义进行模拟试验计算不规则图形的面积，利用面积比可得结论．【解答】解：∵向区域内随机地撒 1000 颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 360 颗， 记“黄豆落在正方形区域内”为事件A ，∴ S 不规则图形 = 平方米，故答案为： ． 【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度 量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．都等于∴P （A ）=，=，15．若函数 的图象关于 y 轴对称，则 a= ．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数 f （x ）为偶函数，函数 f （x ）的定义域关于原点对称，从而求得a 的值．【解答】解：由于函数 的图象关于 y 轴对称，故该函数为偶函数， 故函数 f （x ）的定义域关于原点对称，故 a=﹣ ，故答案为：﹣ ． 【点评】本题主要考查偶函数的图象特征，偶函数的定义域关于原点对称，属于基础题．① 对于任意的 x ∈R ，都有 f （f （x ））=1； ② 函数 f （ x ）是偶函数；③ 若 T 为一个非零有理数，则 f （x+T ）=f （x ）对任意 x ∈R 恒成立；④ 在 f （x ）图象上存在三个点 A ， B ，C ，使得△ ABC 为等边三角形． 其中正确命题的序号是 ①②③④ ． 【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用． 【专题】函数思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管 x 是有理数还是无理数，均有 f （f （x ））=1； ②根据函数奇偶性的定义，可得 f （x ）是偶函数；③ 根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质； ④取 x 1=﹣ ，x 2=0， x 3= ， 可得 A （ ，0），B （0， 1），C （﹣ ， 0），三点恰好构成等边三角形． 1 2 3【解答】解：对于①，若 x 是有理数，则 f （x ） =1，则 f （1）=1，若 x 是无理数，则 f （ x ）=0，则 =1， 即对于任意的 x ∈R ，都有 f （f （x ））=1；故①正确， 对于②，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意 x ∈ R ，都有 f （﹣ x ） =﹣ f （x ），则函数 f （ x ）是偶函数，故②正确； 对于③，若 x 是有理数，则x+T 也是有理数； 若 x 是无理数，则 x+T 也是无理数， ∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T ，f（x+T ）=f （x ）对 x ∈R 恒成立，故③正确； 对于④，取 x 1=﹣ ， x 2=0， x∴A （ ， 0），B （ 0， 1）， C （﹣ ， 0），恰好△ ABC 为等边三角形，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查 了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．有以下四个命题：0）3= ，可得 f x 1） =0， f （x 2）=1，f （ x 3） =0，16．关于函数三、解答题：本大题共4 小题，共40分.Ⅰ）当m=3时，求A∩ ?R B；Ⅱ）若A∩ B={x| ﹣1< x<4} ，求实数m的值．考点】对数函数的定义域；交集及其运算；交、并、补集的混合运算．专题】计算题；集合思想；定义法；集合．分析】（Ⅰ）先化简集合A，B，再根据补集和交集的定义即可求出；Ⅱ）根据交集的定义即可求出m的范围．当m=3时，B={x| ﹣1<x< 3}，则?R B={x|x ≤﹣1或x≥3}．所以A∩?R B={x|3 ≤x≤5} ．（Ⅱ）因为A={x| ﹣1<x≤5} ，A∩B={x| ﹣1<x<4} ，所以有﹣42+2× 4+m=0．解得m=8．此时B={x| ﹣2<x<4} ，符合题意．所以m=8．【点评】本题考查了函数的定义域的求法和集合的基本运算，属于基础题．18．空气质量指数PM2.5（单位：μ g/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染PM2.5 日均浓度0～3535～7575～115115～150150～250>250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市2012年3月8日﹣4月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如图条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率．考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分布的意义和作用．17．已知函数A，函数g（x）=lg （﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．解答】解：Ⅰ）由的定义域为集合的定义域得A={x| ﹣1<x≤5} ．【专题】图表型；概率与统计．【分析】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16 天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率；（2）样本中空气质量级别为三级的有4 天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有 2 天，设其编号为e，f ．列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．【解答】解：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16 天，所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为．⋯（2）样本中空气质量级别为三级的有 4 天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2 天，设其编号为e，f ．则基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f ），（b，c ），（b，d），（b，e），（b，f ），（c，d），（c，e），（c，f ），（d，e），（d，f），（e，f），共15个．其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9 个，∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为．【点评】本题考查条形图，考查学生的阅读能力，考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题．19．已知定义域为R的单调减函数f （x）是奇函数，当x>0 时，．（Ⅰ）求f （0）的值；（Ⅱ）求f （x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t ∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）<0恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用定义域为R的函数f （x）是奇函数，求f （0）的值；（Ⅱ）求出x<0 的解析式，即可求f （x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t ∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）<0恒成立，f（x）在R上是减函数，所以t2 2t > k﹣2t 2．即3t 2﹣2t ﹣k>0对任意t ∈R恒成立，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为定义域为R的函数f （x）是奇函数，所以f （0）=0．（Ⅱ）因为当x<0 时，﹣x>0，所以．又因为函数f （x）是奇函数，所以f （﹣x）=﹣f （x）．所以．综上，Ⅲ）由f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f （2t 2﹣k）．因为 f （x ）是奇函数，所以 f （t 2﹣2t ）<f （k ﹣2t 2）．又 f （x ）在 R 上是减函数，所以 t 2﹣2t >k ﹣2t 2． 即 3t 2﹣2t ﹣k >0 对任意 t ∈ R 恒成立．方法一令 3t 2﹣ 2t ﹣ k=0，则△ =4+12k <0．由△< 0，解得．方法二即 k <3t 2﹣ 2t 对任意 t ∈R 恒成立．令 g （t ）=3t 2﹣2t ，t ∈R 则∴故实数 k 的取值范围为 ． 【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数 的最值的求法，属于中档题．20．定义在（ 0， +∞）上的函数 f （ x ），如果对任意 x ∈（ 0，+∞），都有 f （kx ）=kf （x ）（k ≥2，k ∈N *） 成立，则称 f （ x ）为 k 阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数 f （x ）为二阶伸缩函数，且当 x ∈（ 1， 2]时， ，求 的值；（Ⅱ）若函数 f （x ）为三阶伸缩函数， 且当 x ∈（1，3] 时， ，求证：函数在（ 1， +∞）上无零点；（Ⅲ）若函数 f （x ）为 k 阶伸缩函数，且当 x ∈（1，k] 时， f （ x ）的取值范围是 [0 ，1），求 f （ x ）在（ 0， k n+1] （ n ∈ N *）上的取值范围．【考点】函数的值． 【专题】证明题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）当 x ∈（1，2] 时， ，从而 f （ ）= ，由此能求出函数 f （ x ）为二阶伸缩函数，由此能求出 的值． （Ⅱ）当 x ∈（ 1，3]时，，由此推导出函数在（ 1， +∞）上无零点．k n ，k n+1]时， ，由此得到，当 x ∈（k n ，k n+1] 时，k n ），由此能求出 f （ x ）在（ 0，k n+1] （n ∈N *）上的取值范围是 [0 ，k n ）．∵函数 f （x ）为二阶伸缩函数，∴对任意 x ∈（ 0， +∞），都有 f （ 2x ）=2f （x ）． ∴． （Ⅱ）当 x ∈（ 3m ，3m+1] （m ∈N *）时，．由 f （ x ）为三阶伸缩函数，有 f （ 3x ）=3f （ x ）． ∵x ∈（ 1，3] 时，．令 ，解得 x=0 或 x=3m ，它们均不在（ 3m ，3m+1] 内． ∴函数 在（ 1，+∞）上无零点．（Ⅲ） 由题设，若函数 f （x ）为 k 阶伸缩函数，有 f （kx ）=kf （x ）， 且当 x ∈（ 1， k] 时， f （x ）的取值范围是[0 ， 1）．∴当 x ∈（k n ，k n+1] 时，．（Ⅲ）当 x ∈ f（ x ）∈ [0 ， 【解答】解：Ⅰ）由题设，当 x ∈1，2] 时，∵ ，所以．∵ ，所以．∴当x∈（k n，k n+1] 时，f （x）∈[0，k n）．当x∈（0，1] 时，即0< x≤1，则? k（k≥2，k∈N*）使，∴1<kx≤k，即kx∈（1，k] ，∴ f （kx）∈[0 ，1）．又，∴ ，即．∵k≥2，∴f （x）在（0，k n+1] （n∈N*）上的取值范围是[0 ，k n）．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．。