初中数学竞赛专题分类解析：特殊三角形
一、基础知识：
1）等腰三角形：对称性；底边上的高、中线和角平分线三线合一。

2）正三角形：旋转中的不变性，60 度和120 度；重心、外心、内心、垂心四心合一；内部任何一点到三边的距离和为定值；……
3）直角三角形：勾股定理；代数化与数形结合；射影定理；斜边中线；共圆；
4）特殊的直角三角形：等腰直角三角形—对称性，旋转不变性；含30 度角的直角三角形—30 度角所对直角边是斜边的一半，包含一个等边三角形和一个顶角为120 度的等腰三角形。

二、例题分析
例1、如下左图，在四边形ABCD 中，∠B=135 度，∠C=120 度，AB=2，
BC=4-2，CD=4，求AD 的长度。

例2、如上右图，四边形ABCD，对角线AC、BD 交于点E，I 是△BEC 的内心，BD⊥AC，且BD=AC=BC，M 是BC 的中点，求证：IM⊥AD，AD=2IM.
例3、如下左图△ABC 中，AB=AC，在AB 边上有两点P 和Q，在AC 边上有两点R 和S，且PQ=RS，M 和N 分别是PR 和QS 的中点，求证：MN⊥BC。

例4、如上右图，等腰△ABC 中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠C 的平分线交DF 于点G，DG=3，BC=16，若∠BED=2∠D FC，求BE 的长。

例5、如下左图，等边△ABC 的边长为4，D 是AC 边上的动点，连接BD，以BD 为斜边向上作等腰直角三角形BDE，连接AE，求AE 长的最小值。

例6、如上右图，△ABC 中，∠B AC=60 度，∠AT C=∠B TC=∠CT A=120 度，M 是BC 的中点，求证：2AM=TA+TB+TC。

例 7、如下图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，DF⊥AB 于点 F，A E⊥CF 于点 E 且交 DF 于点 M，求证，M 是 DF 的中点。

三、练习题
1、如下左图，在△ABC 中，AD 和BE 是中线，且∠C AD=∠C BE=30 度，求证：△ABC 是正三角形。

2、如上右图，在△ABC 中，AB≠AC，AD 是角平分线，E、F 分别在AB、AC 上，且BE=CF，连接EF，分别取EF、BC 的中点M、N，连接MN，求证：MN⫽AD
3、如下左图，在△ABC 中，∠BAC=90 度，AB=AC=2，线段BC 上一动点P 从
C 点开始运动，到B 点停止，以AP 为边在AC 的右侧作等边△APQ，求点Q 的
运动轨迹的长度。

4、如上右图，在等边△ABC 中，点D 为BC 的中点，CE、BF 分别为∠ACB 和∠ABC 的角平分线，∠ED F=90 度，求证：∠ED F=150 度。

5、如下左图，在△ABC 中，∠BAC=60 度，D 是AC 上的一点，CD=AB，连接BD，E 是BD 的中点，连接AE，求证：BC=2AE。

6、如上右图，PQ 分别是凸四边形 ABCD 的边 BC 和 AD ，BP DQ BD
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PC QA AC 直线 PQ 与对角线 AC、BD 分别交于点 M、N，求证：∠CMP=∠DNQ。