杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合U A =ð_____________.3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，且1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为________.8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.11. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2fx x=，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->- C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-b a ”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖，n β‖，αβ⊥，则m n ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥18. 下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）SDCB A① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。

已知金字塔的每一条棱和边都相等 （1） 求证：直线AC 垂直于直线SD .（2） 若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 ．某农场规划将果树种在正方形的场地内。

为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树。

在下图里，你可以看到规划种植果树的列数(n)，果树数量及松树数量的规律：= 果树n=4n=3n=2n=1= 松树（1）按此规律，n = 5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量n a ，及松树数量n b 关于n 的表达式.（2）定义：)n (f )1n (f -+ ()*N n ∈为)n (f 增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题6分．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O ，逆时针15分钟转一圈，从A 处进入摩天轮的座舱，OA 垂直于地面AM ，在距离A 处150米处设置了一个望远镜B（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B 中仔细观看。

问望远镜B 的仰角θ 应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD ，发现取景的视角α恰为45︒，求绿化带BD 的长度（精确到1米）.x22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：()222210x y a b a b +=>>和椭圆2T ：()222210y x b c b c+=>>组成，当,,a bc 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.（1）若猫眼曲线Γ过点(0,M ，且,,a b c 的公比为22，求猫眼曲线Γ的方程； （2） 对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：ONOMk k 为与k 无关的定值；（3） l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T 上的任意一点（点N 与点,A B 不重合），求ABN ∆面积的最大值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知函数()D)(x x f ∈，若存在常数T （T>0），对任意D x ∈都有()() x f T T x f ⋅=+，则称函数() x f 为T 倍周期函数（1）判断()x x h =是否是T 倍周期函数，并说明理由.（2）证明()x41 x g ⎪⎭⎫⎝⎛=是T 倍周期函数，且T 的值是唯一的.（3）若() )N (n n f *∈是2倍周期函数，()11f =，()42f -=，n S 表示()n f 的前n 项和，1n 2n2n S S C -=，若10)1a (log C a n ++<恒成立，求a 的取值范围.理科评分参考一、填空题SDCB A1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 04 3 2． ()[),12,-∞-+∞ 3．1 4． 16π 5. 110,,122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．7．20171008 8． 349．56- 10． 36 11．3212． 2- 13．x 4y 2= 14．（4，6） 二、选择题15．C 16．A 17．D 18．A 三、解答题19．（本题12分，第1小题6分，第2小题6分） 解：（1）如图，连接,AC BD 交于点O ，则O 为线段BD 中点，在正方形ABCD 中，对角线AC BD ⊥ （2分）在ASC ∆中，SA SC = ，SO AC ∴⊥S O B DO = ，AC ∴⊥平面SBD （2分）A C S D ∴⊥ （2分）（2）边长为3米 （2分）棱锥的高2233221SO 22=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2分） 229223331V 2=⋅⋅=∴ 立方米 （2分） 答：需要229立方米填充材料. 20．（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）解：（1）n = 5时果树25棵，松树40棵 （2分）2n n a = （2分） n 8b n = （2分） （2）()1n 2n 1n a a 22n 1n +=-+=-+ （2分）()8n 81n 8b b n 1n =-+=-+ （2分）当3n ≤时，2n+1 < 8 松树增加的速度快 （2分） 当4n ≥时，2n+1 > 8 果树增加的速度快 （2分）21．（本题14分，第1小题8分，第2小题6分） （1） 逆时针15分钟转一圈，∴5分钟转过120︒ （2分） 过点C 作CH AB ⊥于点H ，则()5050sin 1209075CH =+⋅︒-︒= （2分） ()15050c o s 12090253BH =-⋅︒-︒=-（2分）tan CH BH θ∴====35θ∴=≈︒（2分） 答：望远镜的仰角θ设置为35︒（2）在BCD ∆中，35,45θα=︒=︒，80CDH ∴∠=︒ （2分）75sin 80sin 80CH CD ∴==︒︒由正弦定理得：sin sin BD CDαθ=（2分） sin 75sin 4594sin sin 80sin 35CD BD αθ⋅⋅︒∴==≈︒⋅︒（2分）答：绿化带的长度为94米.22．（本题16分，第1小题4分，第二小题6分，第三小题6分） （1）b =2,1a c ∴==， （2分）221:142x y T ∴+=，222:12y T x ∴+=； （2分） （2）设斜率为k 的直线交椭圆1T 于点()()1122,,,C x y D x y ，线段CD 中点()00,M x y 121200,22x x y y x y ++∴== 由22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()()()12121212042x x x x y y y y -+-++= （2分）k 存在且0k ≠，12x x ∴≠，且0x 0≠ ∴01212012y y y x x x -⋅=-- ，即21k k OM -=⋅ （2分）同理，2k k ON -=⋅ 41k k ON OM =∴得证 （2分） （3）设直线l的方程为y m =+22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y m y x bc ，()2222222220∴+++-=b c x x m c b c0∆= ，2222∴=+m b c1: =l y （2分）22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y mx yab ， ()2222222220∴+++-=b a x x m a b a 0∆= ，2222∴=+m b a2: =l y （1分）两平行线间距离：d =（1分）∴=AB （1分）ABN ∴∆的面积最大值为22122=⋅=+S AB d b a（1分）注：若用第一小题结论，算得：==ABd ==∆ABN的面积最大值为12S ==得3分23．（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） （1） 设：()() x h T T x h ⋅=+则 x T T x ⋅=+ 对任意x 恒成立 （2分）T 无解∴ ()x x h = 不是T 倍周期函数 （2分）（2） 设：()() x g T T x g ⋅=+则 xTx 41T 41⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 对任意x 恒成立 （2分）T 41T=⎪⎭⎫⎝⎛ 21T =（2分） 下证唯一性： 若 21T >， 214141T 21T=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾 若 21T <， 214141T 21T=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾 ∴ 21T = 是唯一的 （2分）（3）()()()2 12f 21f 3f ==+=()()()22 32f 23f 5f ==+= ()()()32 52f 25f 7f ==+=()()()1-n 2 3-2n 2f 23-2n f 1n 2f ==+=- ()()()()1222211-2n f 5f 3f 1f n 1n 2-=++++=++++- （2分） 同理： ()()()()()()124222142n f 6f 4f 2f n 1n 2--=++++-=++++- ∴ ()()()()123n 2f 2f 1f S n n 2--=+++=同理：()()()321n 2f 2f 1f S n 1n 2+-=-+++=- ()32123S S C n n 1n 2n 2n --==- （2分） 3C 1-= 9C 2=显然：2n ≥ 0C n > 且 ()()()()()()32522327223212332123C C n 2nn 2n n n 1n 1n n 1n +⋅-+⋅-=----=+++ ()()<+⋅-32722n 2n()()32522n 2n +⋅- ∴ 1C C n1n <+ 即单调递减 ∴ ()9C C 2m a x n == （2分） 10)1a (log C a n ++<恒成立， ∴ >++10)1a (log a ()9C max n = ∴ 1)1a (log a ->+① 1a > 时 a11a >+ 解得 ：1a > ② 1a 0<< 时 a 11a <+ 解得 ：251a 0+-<< ∴ 251a 0+-<< 或 1a > （2分）。