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工业机器人动力学的任务
• 工业机器人动力学问题有两类： • (1)动力学正问题：已知关节的驱动力
，求工业机器人系统相应的运动参数， 包括关节位移、速度和加速度。 • (2)动力学逆问题：已知运动轨迹点上 的关节位移、速度和加速度，求出相应 的关节力矩。
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研究工业机器人动力学的目的
• 动力学正问题对工业机器人运动仿真是 非常有用的。
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• 图3-1所示二自由度平面关节型工业机器 人手部的速度为：
• 假如1及2是时间的函数，1=f1(t)， 2=f2(t)，则可由此式求出手部的瞬时速
度V＝f(t) 。
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• 对于图3-1所示2R工业机器人，若令J1、
J2分别为式(3-9)所示雅可比的第一列矢量 和第二列矢量，则式(3-13)可写成：
• 通常J-1出现奇异解的情况有下面两种： • 1) 工作域边界上奇异。当臂全部伸展开
或全部折回而使手部处于工作域的边界 上或边界附近时，出现J-1奇异，这时工 业机器人相应的形位叫做奇异形位。 • 2) 工作域内部奇异。奇异也可以是由两 个或更多个关节轴线重合所引起的。
• dq＝[dq1 dq2 … dqn]T反映了关节空间的微 小运动。
• 手部在操作空间的运动参数用X表示，它 是关节变量的函数，即X＝X(q)，并且是 一个6维列矢量。
dX＝[dx dy dz x y z]T
• dX反映了操作空间的微小运动，它由工业 机器人手部微小线位移和微小角位移(微小 转动)组成。
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3.2 工业机器人速度雅可比与速 度分析
• 3.2.1 工业机器人速度雅可比
• 数学上雅可比矩阵(Jacobian matrix)是一 个多元函数的偏导矩阵。
• 假设有六个函数，每个函数有六个变量 ，即：
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可写成： Y＝F(X)
将其微分，得：
•
• (31)
也可简写成：
• (32)
• (33)
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3.2.2 工业机器人速度分析
• 对式(3-10)左、右两边各除以dt，得：
• 即：
• (312)
• (313)
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• 式(3-13)中： • V——工业机器人手部在操作空间中的广
义速度，V = ； • ——工业机器人关节在关节空间中的
关节速度； • J(q)——确定关节空间速度 与操作空间
速度V之间关系的雅可比矩阵。
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• 参照(3-8)式可写出类似的方程式，即：
dX＝J(q)dq
(3-10)
• 式中J(q)是6×n的偏导数矩阵，称为n自
由度工业机器人速度雅可比矩阵。它反
映了关节空间微小运动dq与手部作业空 间微小运动dX之间的关系。它的第i行第j 列元素为：
• (311)
• i＝1，2，…，6；j＝1，2，…， n
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动力学问题的困难
• 工业机器人是一个非线性的复杂的动力学 系统。动力学问题的求解比较困难，而且需 要较长的运算时间。因此，简化求解过程， 最大限度地减少工业机器人动力学在线计算 的时间是一个受到关注的研究课题。
• 在这一章里，我们将首先讨论与工业机器人 速度和静力学有关的雅可比矩阵，然后介绍 工业机器人的静力学问题和动力学问题。
节空间微小运动d与手部作业空间微小位
移dX之间的关系。 • 注意：dX此时表示微小线位移。
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• 若对式(3-7)进行运算，则2R工业机器人 的雅可比写为：
• (39)
• 从J中元素的组成可见，J阵的值是1及2
的函数。
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• 广义关节变量q＝[q1 q2 … qn]T
转动关节：qi＝i，移动关节：qi＝di
•Y0 •l1
•端点
•l2
•(x， y)T
•2
•O0
•1
•X0
•图3-1 二自由度平面关节工业机器人
•
•即 ：
将其微分，得：
• (34)
• (35)
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将其写成矩阵形式为：
• (36)
•令 ： • (37)
•
式(3-6)可简写为：
dX＝Jd
(3-8)
• 式中 ：
• 我们将J称为图3-1所示二自由度平面关节 型工业机器人的速度雅可比，它反映了关
• (3-14)
• 式中：J-1称为工业机器人逆速度雅可比。 • 式(3-14)是一个很重要的关系式。例如，d
当希望工业机器人手部在空间按规定的速 度进行作业，那么用式(3-14)可以计算出 沿路径上每一瞬时相应的关节速度。
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• 一般来说，求J-1是比较困难的，有时还 会出现奇异解，就无法解算关节速度。
• 动力学逆问题对实现工业机器人实时控 制是相当有用的。
• 利用动力学模型，实现最模型的用途
• 主要用于工业机器人的设计和离线编程。 • 在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学
参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿 真，对其性能进行分析，从而决定工业机器 人的结构参数和传动方案，验算设计方案的 合理性和可行性。 • 在离线编程时，为了估计工业机器人高速运 动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控 制仿真和动态模型的仿真。
第3章工业机器人静力学 及动力学分析
2020年6月6日星期六
工业机器人静力学的任务
• 后面所说的力或力矩都是“广义的”。
• 工业机器人作业时，外界对手部的作用力 将导致各关节产生相应的作用力。假定工 业机器人各关节“锁住”，关节的“锁定用” 力与外界环境施加给手部的作用力取得静 力学平衡。
• 工业机器人静力学就是分析手部上的作用 力与各关节“锁定用”力之间的平衡关系， 从而根据外界环境在手部上的作用力求出 各关节的“锁定用”力，或者根据已知的关 节驱动力求解出手部的输出力。
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• 式(3-3)中的(6×6)矩阵
• 叫做雅可比矩阵 。
• 在工业机器人速度分析和以后的静力学分 析中都将遇到类似的矩阵，我们称之为工 业机器人雅可比矩阵，或简称雅可比。一 般用符号J表示。
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• 图3-1为二自由度平面关节型工业机器人（ 2R工业机器人），其端点位置x，y与关节
变量1、2的关系为：
• 式中右边第一项表示仅由第一个关节运 动引起的端点速度；右边第二项表示仅 由第二个关节运动引起的端点速度；总 的端点速度为这两个速度矢量的合成。
• 工业机器人速度雅可比的每一列表示其 它关节不动而某一关节运动产生的端点 速度。
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• 反之，假如给定工业机器人手部速度， 可由式(3-13)解出相应的关节速度，即：