平面定轴转动：
M I
• 特点:每个杆件列出动力学方程组，含有关节间约束 力，计算麻烦，但便于进行构件强度计算。
• 2、拉格朗日方程法 • 公式中不含关节间约束力（运动副反力），计
算简化
三 、拉格朗日方程法
一、力学分析思路进程（平面运动为例） 1、静力分析：
匀速运动或静止。不考虑惯性力，动载荷。 合外力或力偶距之和为零
夹持器及各关节位移、速度、加速度。
• 2、 逆向动力学—知末端夹持器及各关节位移、速度、 加速度。求实现这些关节运动参数所需的关节驱动力 （力矩）。
• 机器人通常是逆向动力学问题。
• 要准确实现预定的末端夹持器时变位姿及速 度，要按动力学方程求出各关节相应时变驱动 力矩。然后准确控制各伺服驱动马达的驱动力 矩。
1 l2FX l1FY 2 l2FX
• 三、静力学两类问题： • 1、 正向静力学—知各关节驱动力（力矩），求手部
端点能输出的力（力矩） 。
• 2、 逆向静力学—知手部端点作用力（力矩），求关 节需施加的力（力矩）。
• 机器人通常是逆向力学问题。
• §4—2 机器人动力学
• 一、动力学两类问题： • 1、 正向动力学—知各关节驱动力（力矩），求末端
• 质心速度
.
.
..
x2 l1 cos1 1 l2 cos(1 2 )(12 )
.
.
..
y2 l1 sin1 1 l2 sin(1 2 )(12 )
• 质心速度:
v22
.
y
2
2
.
x22
.
.
..
.
.
..
l12 12 l22 (12 21 2 22 ) 2l1l2 cos2 (12 1 2 )
• 二、动力学求解方法： • 常用以下两方法 • 1、牛顿—欧拉方程法 • (1)牛顿方程—刚体质心运动方程
F ma m dv dt
• (2)欧拉方程—刚体转动方程
M CI C I
刚体角速度 刚体角加速度 M 刚体上作用力矩 C I 刚体相对于原点通过质心C并与刚体固连的
刚体坐标系的惯性张量
•
•
F1 1
F2 2
• 3、写出构件1、2的动能,势能 • (1)构件1的动能
T1
1 2
.2
m1l12 1
• (2)构件1的势能
U1 m1gl1 cos 1
• (3)构件2的动能
• 质心坐标
x2 l1 sin1 l2 sin(1 2 ) y2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
F 0 M 0
• 2、 动力分析：变速运动。
• 解法 ①动力学方程法
•
F ma
M J
• ②动静法—达伦伯原理－考虑惯性力 缺点：出现运动副反力
F ma 0 M J 0
• 3、虚位移原理：静力平衡状态下，所有主动 力在任何虚位移中的元功之和为零—分析静力 学。
Fii cosi 0
l1c1 l2c12
l 2 c12
1
2
JTF
l1s1 l2 s12
l2 s12
l1c1 l2c12 FX
l 2 c12
FY
1 (l1s1 l2s12 )FX (l1c1 l2c12 )FY 2 l2s12FX l2c12FY
1 l2FX l1FY 2 l2FX
广Fi义—坐广标义是力移(非动有：势广力义，力即是不力含，重广力义、坐弹标力是等转）。
动时：广义力是力矩
• 三、简例 • 两杆工业机器人模型，质量 m1, m2 在端部，
L1, L2 • 式用拉格朗日方程法 • 进行动力分析。
• 解：1、选择广义坐标
•
•
q1 1
2、选择广义力q2 • 2
• 关节驱动力矩：τ1 ,τ 2
• 构件2的动能
T2
1 2
m2
[l12
.
12
l22
.
(12
.
21
.
2
.
2
2
)
2l1l2
.
..
cos2 (12 1 2 )]
• (4)构件2的势能
U2 m2gl1 cos1 m2gl2 cos(1 2 )
• 4、写出拉格朗日函数
• L T U T1 T2 U1 U2
• 5 、对拉格朗日函数求导
L
L
1
2
L
L
•
•
1
2
d L
dt
•
qi
L qi
Fi
• 对t求导
d L
dt
•
1
d L
dt
•
2
d L
dt
•
qi
L qi
Fi
• 6-带入拉格朗日方程
d L
dt
•
qi
L qi
Fi
• 7.导出机器人动力学方程—机器人运动微分方 程。
( J T F )T 0
JTF
雅可比转置矩阵
JT
例题 二自由度平面关节机器人，知端点力，略摩擦、重
力，求关节力矩。 1 0 2 90 F [FX , FY ]T
解：
J
l1s1 l2 s12
l1c1
l2c12
l2 s12
l 2 c12
JT
l1s1 l2 s12 l2 s12
F1
F
F2
Fn
1
2
n
F 忽略摩擦力、重力等
x
手部端点虚位移
y
P
z
关节虚位移
q1
q
2
q
qq43
q5
q6
虚位移原理：
W 1q1 2q2 F1 x F2 y F3 z F4
W Tq F TP
W 0
W Tq F TP Tq F T Jq ( J T F )T q 0
• 第四章 机器人静力学 与动力学
Statics and Dynamics of Industrial Robot
• §4—1 机器人静力学
一、静力学问题：
F
（1）假设各构件处在静止状态（相当于运动受限状态）
（2）关节力
手端输出力
• 二、静力学方程 • 1、 手部端点广义力（力矩） F • 2、 关节广义驱动力（力矩）τ
• 5、拉格朗日方程
• 广义坐标，广义力
• 动力学方程数与自由度数相等
•
常规6自由度机器人只解6个方程
• 二、拉格朗日方程法
• 方程
d L
dt
•
qi
L qi
Fi
i=1,2,3,…..n 与自由度数相等
L=T-U —拉格朗日函数
T—系统动能
U —系统势能
q--- 广义坐标 。移动或转动
•
q 广义坐标一阶导数
• 好处：运动副反力不出现。 • 几何静力学：二力平衡，三力汇交 • 分析静力学：虚位移原理
• 4、动力学普遍方程：
• 动力学问题 =达伦伯原理+虚位移原理
• 动力学问题 →增加惯性力→达伦伯原理→静力 学问题→虚位移原理。
n
(Fi Fgi ) • 0
i 1
• 特点：不出现约束力，但方程数太多，解太多 的联立方程。