2m30°三角函数的应用设计教学目标（一）教学知识点1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．（二）能力训练要求发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．（三）情感与价值观要求1．在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气．2．选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望．教学重点1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．2．发展学生数学应用意识和解决问题的能力．教学难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．教学过程（一）复习旧知，引入新课1．一物体沿坡度为1∶8，则物体升高了 m ． 答案：12．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，再向塔底前进a m ，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔的高为m ．答案：1(32 a3．如图所示，在高2m ，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要_______m ．答案：24．创设问题，引入新课海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．（二）讲授新课1．思路点拔（1）我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？应该是“上北下南，左西右东”．（2）请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的．首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处．示意图如下．（3）货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险．A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度．我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较．（4）下面我们就来看AD如何求．根据题意，有哪些已知条件呢？已知BC=20海里，∠BAD=55°，∠CAD=25°．（5）在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD．你能在哪一个三角形中求出AD呢？在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD．在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC=20海里，但它不是Rt△ABD的边，2020.79tan 55tan 25AD =≈︒-︒也不能求出AD ．（6）那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边．而且BC 是这两个直角三角形BD 与CD 的差，即BC =BD -CD ．BD 、CD 的对角是已知的，BD 、CD 和边AD 都有联系．（7）有何联系呢？在Rt △ABD 中，tan 55BD AD ︒=，tan55BD AD =︒；在Rt △ACD 中，tan 25CD AD ︒=，tan 25CD AD =︒．利用BC =BD -CD 就可以列出关于AD 的一元一次方程，即AD tan55°-AD tan25°=20． 总结：其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一．解：过A 作BC 的垂线，交BC 于点D 得到Rt △ABD 和Rt △ACD ，从而BD =AD tan55°，CD =AD tan25°，由BD -CD =BC ，又BC =20海里．得AD tan55°-AD tan25°=20．AD （tan55°-tan25°）=20，（海里）．这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险．2．小组合作，探索问题（1）想一想你会更聪明：接下来，我们再来研究一个问题．还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度．如图，小明想测量塔CD 的高度．他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处．测得仰角为60°．那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m ）（2）思路点拔：①我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．30°的仰角指 ∠DAC ，60°的仰角指∠DBC ．②很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答．首先，我们可以注意到CD 是两个直角三角形Rt △ADC 和Rt △BDC 的公共边，在 Rt △ADC 中，tan 30CD AC ︒=， 即tan 30CD AC =︒，在Rt △BDC 中，tan 60CD BC︒=， 即tan 60CD BC =︒，又∵AB =AC -BC =50 m ，得 50tan 30tan 60CD CD -=︒︒． 解得CD ≈43（m ），即塔CD 的高度约为43 m ．③提出质疑，再探新知：小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD 的高度时是否应考虑小明的身高？在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离．④如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m ，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？示意图如图所示，由前面的解答过程可知CC ′≈43 m ，则CD =43+1.6=44.6 m ．即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m ．3．巩固新知、解决问题：现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下．某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m ，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.0l m ）请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，（先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法）（1）思路点拔要注意调整前后梯楼的高度是一个不变量．根据题意可画㈩示意图（如右图）．其中AB 表示楼梯的高度．AC 是原楼梯的长，BC 是原楼梯的占地长度；AD 是调整后的楼梯的长度，DB 是调整后的楼梯的占地长度．∠ACB 是原楼梯的倾角，∠ADB 是调整后的楼梯的倾角．转化为数学问题即为：如图，AB ⊥DB ，∠ACB =40°，∠ADB =35°，AC =4m ．求AD -AC 及DC 的长度．（2）解决问题解：由条件可知，在Rt △ABC 中，sin 40AB AC ︒=，即AB =4sin40°m ，原楼梯占地 长BC =4cos40°m ．调整后，在Rt △ADB 中，sin 35AB AD ︒=，则4sin 40sin 35sin 35AB AD ︒==︒︒m ．楼梯占地长4sin 40tan 35DB ︒=︒m ． ∴调整后楼梯加长4sin 4040.48sin 35AD AC ︒-=-≈︒（m ）， 楼梯比原来多占4sin 404cos 400.61tan 35DC DB BC ︒=-=-︒≈︒（m ）． （三）随堂练习1．如图，一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB =5m ，现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少？解：在Rt △CBD 中，∠CDB =40°，DB =5 m ，sin 40BC DB ︒=，BC =DB sin40°=5sin40°（m ）．在Rt △EDB 中，DB =5 m ，BE =BC +EC =2+5sin40°（m ）．根据勾股定理，得796.DE ==≈（m ）． 所以钢缆ED 的长度为7.96 m ．2．如图，水库大坝的截面是梯形ABCD ，坝顶AD =6 m ，坡长CD =8 m ．坡底BC =30 m ，∠ADC =135°．（1）求∠ABC 的大小；（2）如果坝长100 m ．那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01 m 3） 解：过A 、D 分别作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足．（1）在梯形ABCD 中．∠ADC =135°，∴∠FDC =45°，EF =AD =6 m ．在Rt △FDC 中，DC =8m ．DF =FC =CD ．sin 45︒=m ）．∴30624BE BC CF EF =--=-=-（m ）．在Rt △AEB 中，AE DF ==m ）．tan 0308.AE ABC BE ===≈． ∴∠ABC ≈17°8′21″．（2）梯形ABCD 的面积：1163022S AD BC AE =+⋅+⨯（）=（）m 2）．坝长为100 m ，那么建筑这个大坝共需土石料10010182.34⨯≈（m 3）． 综上所述，∠ABC =17°8′21″，建筑大坝共需10182.34 m 3土石料．（四）活动与探究，拓展知识例题：如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受到影响．（1）问：B 处是否会受到台风的影响？请说明理由．（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？[过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征．在转化、抽象成数学问题上下功夫．[结果]（1）过点B 作BD ⊥AC ．垂足为D ．依题意，得∠BAC =30°，在Rt △ABD 中，11201616012022BD AB ==⨯⨯=<， ∴B 处会受到台风影响．（2）以点B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E 、F ，由勾股定理可求得DE =120，AD =120AE AD DE =-=．=（小时）．3.8因此，该船应在3.8小时内卸完货物．（五）课时小结本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力．其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴．请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣．习题1.6第1、2、3题．。